Resolva o sistema A X=4 X, onde
A=[llll 2 & 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema . Esse tipo de problema está relacionado a autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam em quatro vezes eles mesmos. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema A X - 4 X = 0 de uma forma que facilite a resolução. Podemos subtrair (A - 4I) X = 0 de ambos os lados para obter:
Isso fica igual a:
Aqui, é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Esse passo nos ajuda a transformar o problema em encontrar o espaço nulo da matriz .

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz A = 2 & 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 4 . A matriz I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 é dada por:
4I = 4 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4
E a matriz identidade A - 4I = 2-4 & 1-0 & 1-0 & 0-0 1-0 & 2-4 & 1-0 & 0-0 1-0 & 1-0 & 2-4 & 0-0 0-0 & 0-0 & 0-0 & 4-4 = -2 & 1 & 1 & 0 1 & -2 & 1 & 0 1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 de ordem 4 é:
Multiplicando por 4:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora, nosso objetivo é resolver o sistema linear:
(A - 4I) X = 0
Com a matriz -2 & 1 & 1 & 0 1 & -2 & 1 & 0 1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 0 que acabamos de calcular:
Perceba que a última linha é toda zero, o que significa que pode ser qualquer valor (é uma variável livre).

Passo 5

Vamos resolver o sistema das três primeiras equações:
-2x1 + x2 + x3 = 0 x1 - 2x2 + x3 = 0 x1 + x2 - 2x3 = 0
Podemos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar. Vamos:
  1. Somar a primeira equação com a segunda para eliminar -2x1 + x2 + x3 + x1 - 2x2 + x3 = -x1 - x2 + 2x3 = 0 :
  1. Fazer combinações similares para simplificar as equações.
Após simplificações, percebemos que todas as equações são dependentes, o que indica que existe um espaço de soluções infinitas.

Passo 6

Vamos expressar as variáveis em termos de uma variável livre. Suponha que x1 = t x2 = t x3 = t x4 = s e , onde e são números reais quaisquer.
A partir das equações simplificadas, encontramos que:

Resposta

A solução geral do sistema é:
X = t t t s , onde t, s in R
Ou seja, todos os vetores que satisfazem são da forma acima, com e podendo ser quaisquer números reais.

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