(a) Mostre que, se A=A^-1, então |A|= pm 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se uma matriz A é igual à sua inversa ( A = A^-1), então o determinante de A é igual a pm 1. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de matrizes e determinantes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do determinante e da relação entre uma matriz e seu inverso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz inversa tem uma relação específica com o determinante da matriz original. A propriedade que utilizaremos é:
|A^-1| = 1|A|
Isso significa que o determinante da inversa de A é igual a um sobre o determinante de A.

Passo 3

Agora, como está dado que A = A^-1, podemos substituir A^-1 por A na equação do determinante:
|A| = |A^-1| = 1|A|

Passo 4

Temos então a equação:
|A| = 1|A|
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de |A|. Multiplicando ambos os lados por |A|, temos:
|A| cdot |A| = 1
Ou seja,
|A|^2 = 1

Passo 5

Para encontrar o valor de |A|, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
|A| = raiz1
Isso nos dá:
|A| = pm 1

Resposta

Portanto, mostramos que se A = A^-1, então o determinante de A é |A| = pm 1.

Exercícios relacionados

Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
© (A^-1 X)^-1=A(B^-2 A)^-1
Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(a) A=(ccct & -t & 3 0 & t+1 & 1 t & -8 & t-1)
Prove por indução que: Para qualquer natural n >= 2, vale 2^n+1<3^n
Mostrar que, para qualquer n in N : n^3-n é múltiplo de 3 .