Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial
, e precisamos encontrar os valores de
para os quais a derivada
é paralela a:
(i) o plano
,
(ii) o plano
,
(iii) a reta
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais e paralelismo entre vetores e planos ou linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada
representa a velocidade instantânea do ponto em cada instante de tempo
.
Calculando cada componente:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos considerar o item (i):
é paralelo ao plano
.
Um vetor é paralelo a um plano se o vetor é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal ao plano
é
.
Então, queremos que
seja perpendicular a
.
Passo 4
Para testar a perpendicularidade entre dois vetores, usamos o produto escalar. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Calculando o produto escalar entre
e
:
Queremos que isso seja zero:
Passo 5
Resolvendo
:
Portanto:
para todo inteiro
.
Passo 6
Portanto, os valores de
que fazem
paralelo ao plano
são:
Resposta
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e
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.
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
j) ;
j)