Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (cos(t), sen(t), sen(2t))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial , e precisamos encontrar os valores de para os quais a derivada é paralela a:
(i) o plano ,
(ii) o plano ,
(iii) a reta .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais e paralelismo entre vetores e planos ou linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada representa a velocidade instantânea do ponto em cada instante de tempo .
Calculando cada componente:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos considerar o item (i): é paralelo ao plano .
Um vetor é paralelo a um plano se o vetor é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal ao plano é .
Então, queremos que seja perpendicular a .

Passo 4

Para testar a perpendicularidade entre dois vetores, usamos o produto escalar. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Calculando o produto escalar entre e :
Queremos que isso seja zero:

Passo 5

Resolvendo :
quando , onde é um inteiro.
Portanto:
para todo inteiro .

Passo 6

Portanto, os valores de que fazem paralelo ao plano são:

Resposta

, onde é um inteiro.

Exercícios relacionados

Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (t, t, t^2 - 1)
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (t, t^2 - 1), t = 1, t = 2
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(t^2-1, e^2 t, sen t)
Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
j) lim x -infty raizx^2+4x+4;