Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de
o vetor derivada
é paralelo a três diferentes planos: (i) o plano
, (ii) o plano
e (iii) o plano definido por
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais e a ideia de vetores paralelos a planos. Vamos precisar calcular a derivada de
e analisar quando essa derivada é paralela aos planos mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A função vetorial dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Então,
.
Passo 3
Agora, para que o vetor
seja paralelo a um plano, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso porque, se um vetor é paralelo a um plano, ele não tem componente na direção perpendicular ao plano. A condição matemática para isso é que o produto escalar entre
e o vetor normal do plano seja igual a zero:
Onde
é o vetor normal ao plano.
Passo 4
Vamos identificar os vetores normais para cada um dos planos:
(i) Plano
: Este plano é paralelo ao eixo
, então o vetor normal é:
(ii) Plano
: Este plano é paralelo ao eixo
, então o vetor normal é:
(iii) Plano
: Podemos reescrever a equação do plano como
. O vetor normal é então:
Passo 5
Vamos aplicar a condição
para cada plano:
(i) Plano
:
Então, temos:
A equação
ocorre quando
, onde
é inteiro. Portanto, os valores de
são:
(ii) Plano
:
Então:
(iii) Plano
:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores de
para os quais
é paralelo aos planos são:
(i)
e
, onde
é inteiro.
(ii)
.
(iii)
.
Exercícios relacionados
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Encontre os valores de
para quaia
e
são ortogonais.
Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.