Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (t^2, t, sen(t^2))

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de o vetor derivada é paralelo a três diferentes planos: (i) o plano , (ii) o plano e (iii) o plano definido por . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais e a ideia de vetores paralelos a planos. Vamos precisar calcular a derivada de e analisar quando essa derivada é paralela aos planos mencionados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função vetorial dada é:
A derivada de em relação a é:
Então, .

Passo 3

Agora, para que o vetor seja paralelo a um plano, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso porque, se um vetor é paralelo a um plano, ele não tem componente na direção perpendicular ao plano. A condição matemática para isso é que o produto escalar entre e o vetor normal do plano seja igual a zero:
Onde é o vetor normal ao plano.

Passo 4

Vamos identificar os vetores normais para cada um dos planos:
(i) Plano : Este plano é paralelo ao eixo , então o vetor normal é:
(ii) Plano : Este plano é paralelo ao eixo , então o vetor normal é:
(iii) Plano : Podemos reescrever a equação do plano como . O vetor normal é então:

Passo 5

Vamos aplicar a condição para cada plano:
(i) Plano :
Então, temos:
A equação ocorre quando , onde é inteiro. Portanto, os valores de são:
(ii) Plano :
Então:
(iii) Plano :
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de para os quais é paralelo aos planos são:
(i) e , onde é inteiro.
(ii) .
(iii) .

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