Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar os valores de
para os quais a derivada do vetor posição
é paralela a certos planos e linhas. O vetor dado é:
Vamos precisar calcular a derivada desse vetor
e entender um pouco sobre vetores paralelos a planos e linhas para resolver as três partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada do vetor posição
. Lembre-se que a derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade ou a direção do movimento naquele instante
.
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa o vetor
ser paralelo a um plano ou a uma linha.
- Paralelo a um plano: Um vetor é paralelo a um plano se ele está contido nesse plano, ou seja, se ele é perpendicular ao vetor normal do plano.
- Paralelo a uma linha: Um vetor é paralelo a uma linha se ele tem a mesma direção que a direção da linha, ou seja, se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos aplicar isso a cada caso do exercício.
Passo 4
(i) Paralelo ao plano
:
O plano
tem como vetor normal o eixo
, ou seja,
.
Para que
seja paralelo ao plano
, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal
. Isso significa que o produto escalar de
com
deve ser zero:
Calculando o produto escalar:
Então, temos:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Primeiro, fatoramos:
Isso nos dá:
Então:
Passo 6
(ii) Paralelo ao plano
:
O plano
tem como vetor normal o eixo
, ou seja,
.
Para que
seja paralelo ao plano
, ele precisa ser perpendicular ao vetor normal
. Então:
Calculando o produto escalar:
Então, temos:
Passo 7
A equação
não tem solução real, porque a fração nunca será igual a zero para valores de
que tornam o denominador real e definido (ou seja,
).
Portanto, não há valores de
para os quais
seja paralelo ao plano
.
Passo 8
(iii) Paralelo à linha
:
A linha
tem direção dada pelo vetor
.
Para que
seja paralelo a essa linha,
deve ser um múltiplo escalar de
. Ou seja, existe um escalar
tal que:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 9
Vamos resolver o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
Para cada valor de
, verificamos as outras equações:
- Para
:
Aqui,
e
, o que não é possível. Então,
não é solução.
- Para
:
Aqui,
não coincide, então
não é solução.
- Para
:
Primeiro, verifica se
está no domínio de
:
Como não podemos ter a raiz quadrada de um número negativo,
não está no domínio. Portanto, não é uma solução válida.
Resposta
Não existem valores de
que tornem
paralelo à linha
.
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para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.