Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (raiz(t + 1), cos(t), t^4 - 8t^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar os valores de para os quais a derivada do vetor posição é paralela a certos planos e linhas. O vetor dado é:
Vamos precisar calcular a derivada desse vetor e entender um pouco sobre vetores paralelos a planos e linhas para resolver as três partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do vetor posição . Lembre-se que a derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade ou a direção do movimento naquele instante .
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa o vetor ser paralelo a um plano ou a uma linha.
  • Paralelo a um plano: Um vetor é paralelo a um plano se ele está contido nesse plano, ou seja, se ele é perpendicular ao vetor normal do plano.
  • Paralelo a uma linha: Um vetor é paralelo a uma linha se ele tem a mesma direção que a direção da linha, ou seja, se um é múltiplo escalar do outro.
Vamos aplicar isso a cada caso do exercício.

Passo 4

(i) Paralelo ao plano :
O plano tem como vetor normal o eixo , ou seja, .
Para que seja paralelo ao plano , ele precisa ser perpendicular ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar de com deve ser zero:
Calculando o produto escalar:
Então, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Primeiro, fatoramos:
Isso nos dá:
Então:

Passo 6

(ii) Paralelo ao plano :
O plano tem como vetor normal o eixo , ou seja, .
Para que seja paralelo ao plano , ele precisa ser perpendicular ao vetor normal . Então:
Calculando o produto escalar:
Então, temos:

Passo 7

A equação não tem solução real, porque a fração nunca será igual a zero para valores de que tornam o denominador real e definido (ou seja, ).
Portanto, não há valores de para os quais seja paralelo ao plano .

Passo 8

(iii) Paralelo à linha :
A linha tem direção dada pelo vetor .
Para que seja paralelo a essa linha, deve ser um múltiplo escalar de . Ou seja, existe um escalar tal que:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
Para cada valor de , verificamos as outras equações:
  • Para :
Aqui, e , o que não é possível. Então, não é solução.
  • Para :
Aqui, não coincide, então não é solução.
  • Para :
Primeiro, verifica se está no domínio de :
Como não podemos ter a raiz quadrada de um número negativo, não está no domínio. Portanto, não é uma solução válida.

Resposta

Não existem valores de que tornem paralelo à linha .

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Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (cos(t), t, sen(t)), t = pi/2, t = pi
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(sen tt, cos t, t+1t-1)
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3)