Enuncie o Teorema de Clairaut.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para enunciar o Teorema de Clairaut. Esse teorema faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas se relacionam umas com as outras para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a é como se a gente derivasse a função mantendo constante, e vice-versa.

Passo 3

Agora, o Teorema de Clairaut fala sobre as derivadas parciais de segunda ordem. Ele diz que se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função são contínuas, então a ordem em que a gente toma essas derivadas não altera o resultado.

Passo 4

Em termos matemáticos, se temos uma função que tem derivadas parciais contínuas, então:
Isso significa que a derivada primeira em e depois em é igual à derivada primeira em e depois em .

Passo 5

Esse teorema é muito útil porque facilita o cálculo de derivadas parciais de funções complicadas, garantindo que a ordem de diferenciação não vai afetar o resultado final, desde que as condições de continuidade sejam atendidas.

Resposta

O Teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função são contínuas, então elas são iguais independentemente da ordem em que são calculadas, ou seja:

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Equação Exata:
c) Resolva a
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos: