Enuncie o Teorema de Clairaut.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para enunciar o Teorema de Clairaut. Esse teorema faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas se relacionam umas com as outras para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
é como se a gente derivasse a função mantendo
constante, e vice-versa.
Passo 3
Agora, o Teorema de Clairaut fala sobre as derivadas parciais de segunda ordem. Ele diz que se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função são contínuas, então a ordem em que a gente toma essas derivadas não altera o resultado.
Passo 4
Em termos matemáticos, se temos uma função
que tem derivadas parciais contínuas, então:
Isso significa que a derivada primeira em
e depois em
é igual à derivada primeira em
e depois em
.
Passo 5
Esse teorema é muito útil porque facilita o cálculo de derivadas parciais de funções complicadas, garantindo que a ordem de diferenciação não vai afetar o resultado final, desde que as condições de continuidade sejam atendidas.
Resposta
O Teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função são contínuas, então elas são iguais independentemente da ordem em que são calculadas, ou seja:
Exercícios relacionados
Equação Exata:
c) Resolva a
c) Resolva a
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
Encontre os valores de
e
tais que a função abaixo é continua em todos os pontos: