Encontre os valores de c tal que o gráfico de
f(x) = x^4 + 2 x^3 + c x^2 + 2 x + 2
seja côncavo para cima em todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de que fazem o gráfico da função
ser côncavo para cima em todos os pontos. Isso envolve o estudo da concavidade usando cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função e garantir que ela seja sempre positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Se a segunda derivada, , for positiva para todo , então a função é côncava para cima em todos os pontos.
Então, nosso objetivo é encontrar para todo .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . Usamos a regra de derivação termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de :

Passo 5

Queremos que para todo . Então, precisamos analisar a inequação:
Essa é uma inequação quadrática em . Para que ela seja positiva para todo , precisamos que o polinômio não tenha raízes reais e que o coeficiente de seja positivo.

Passo 6

Vamos verificar o discriminante da equação quadrática . O discriminante é dado por:
onde , , e .
Então,
Para que a inequação quadrática seja sempre positiva, queremos :

Passo 7

Vamos resolver a inequação :

Resposta

Os valores de que fazem o gráfico de ser côncavo para cima em todos os pontos são todos os números maiores que .

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