Encontre os valores de
tal que o gráfico de
seja côncavo para cima em todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de
que fazem o gráfico da função
ser côncavo para cima em todos os pontos. Isso envolve o estudo da concavidade usando cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função e garantir que ela seja sempre positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Se a segunda derivada,
, for positiva para todo
, então a função é côncava para cima em todos os pontos.
Então, nosso objetivo é encontrar
para todo
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
. Usamos a regra de derivação termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de
:
Passo 5
Queremos que
para todo
. Então, precisamos analisar a inequação:
Essa é uma inequação quadrática em
. Para que ela seja positiva para todo
, precisamos que o polinômio não tenha raízes reais e que o coeficiente de
seja positivo.
Passo 6
Vamos verificar o discriminante da equação quadrática
. O discriminante
é dado por:
onde
,
, e
.
Então,
Para que a inequação quadrática seja sempre positiva, queremos
:
Passo 7
Vamos resolver a inequação
:
Resposta
Os valores de
que fazem o gráfico de
ser côncavo para cima em todos os pontos são todos os números maiores que
.
Exercícios relacionados
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(d) ;
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(d)
Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Resolva os seguintes PVI(a)
;
Resolva os seguintes PVI©
.