Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(d) d yd t=y(y-1)(y-3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a variável dydt = y(y - 1)(y - 3) muda com o tempo . A equação é:
O objetivo aqui é:
  1. Desenhar um campo de direções (tipo um mapa que mostra para onde está indo em cada ponto).
  2. Encontrar os pontos de equilíbrio (onde não muda).
  3. Ver como se comporta quando o tempo vai para o infinito e se isso depende do valor inicial .
Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, pontos de equilíbrio e análise de estabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. Isso significa olhar para diferentes valores de dydt = y(y - 1)(y - 3) e ver se está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos analisar o sinal de :
Vamos considerar os intervalos determinados pelas raízes da equação: , e .
  • Para : Todos os três termos , e são negativos, então é negativo (produto de três negativos é negativo). Isso significa que está diminuindo.
  • Para : é positivo, e são negativos. O produto é positivo (positivo × negativo × negativo = positivo). Então, está aumentando.
  • Para : e são positivos, mas é negativo. O produto é negativo (positivo × positivo × negativo = negativo). Então, está diminuindo.
  • Para : Todos os três termos são positivos, então é positivo. Portanto, está aumentando.
Com isso, podemos desenhar setas no eixo indicando a direção do aumento ou diminuição de em cada intervalo.

Passo 3

Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. São os valores de y(y - 1)(y - 3) = 0 onde y = 0, y = 1, y = 3 :
Resolvendo:
Então, os pontos de equilíbrio são , e .

Passo 4

Por último, vamos analisar o comportamento de quando vai para o infinito, ou seja, , e ver se isso depende do valor inicial .
Observando o campo de direções:
  • Se : continua diminuindo, indo para menos infinito.
  • Se : aumenta e tende para .
  • Se : diminui e tende para .
  • Se : aumenta, indo para mais infinito.
Portanto, o limite de quando tende ao infinito depende do valor inicial :
  • Para ou , vai para menos ou mais infinito, respectivamente.
  • Para , tende para .

Resposta

As soluções de equilíbrio são , e . Dependendo do valor inicial , temos:
  • Se , tende para menos infinito.
  • Se , tende para .
  • Se , tende para mais infinito.
Ou seja, o comportamento de depende do valor inicial .

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