Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
, destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(d)
;
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a variável
muda com o tempo
. A equação é:
O objetivo aqui é:
- Desenhar um campo de direções (tipo um mapa que mostra para onde
está indo em cada ponto). - Encontrar os pontos de equilíbrio (onde
não muda). - Ver como
se comporta quando o tempo vai para o infinito e se isso depende do valor inicial .
Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, pontos de equilíbrio e análise de estabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. Isso significa olhar para diferentes valores de
e ver se
está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos analisar o sinal de
:
Vamos considerar os intervalos determinados pelas raízes da equação:
,
e
.
-
Para
: Todos os três termos , e são negativos, então é negativo (produto de três negativos é negativo). Isso significa que está diminuindo. -
Para
: é positivo, e são negativos. O produto é positivo (positivo × negativo × negativo = positivo). Então, está aumentando. -
Para
: e são positivos, mas é negativo. O produto é negativo (positivo × positivo × negativo = negativo). Então, está diminuindo. -
Para
: Todos os três termos são positivos, então é positivo. Portanto, está aumentando.
Com isso, podemos desenhar setas no eixo
indicando a direção do aumento ou diminuição de
em cada intervalo.
Passo 3
Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. São os valores de
onde
:
Resolvendo:
Então, os pontos de equilíbrio são
,
e
.
Passo 4
Por último, vamos analisar o comportamento de
quando
vai para o infinito, ou seja,
, e ver se isso depende do valor inicial
.
Observando o campo de direções:
- Se
: continua diminuindo, indo para menos infinito. - Se
: aumenta e tende para . - Se
: diminui e tende para . - Se
: aumenta, indo para mais infinito.
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito depende do valor inicial
:
- Para
ou , vai para menos ou mais infinito, respectivamente. - Para
, tende para .
Resposta
As soluções de equilíbrio são
,
e
. Dependendo do valor inicial
, temos:
- Se
, tende para menos infinito. - Se
, tende para . - Se
, tende para mais infinito.
Ou seja, o comportamento de
depende do valor inicial
.