Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais (). A função está dividida em três partes:
Para :
Para :
Para :
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e aplicar esse conceito nos pontos onde a definição da função muda, que são em e .
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^2 + 2x - 1) = 0^2 + 2 cdot 0 - 1 = -1 . Para isso, o limite quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (a x + b) = a cdot 0 + b = b se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando f(0) = a cdot 0 + b = b se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) = f(0) .
Vamos calcular:
Limite pela esquerda ( -1 = b ):
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Então já sabemos que .
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja contínua em limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (a x + b) = a cdot 1 + b = a + b .
Limite pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ 2 = 2 ):
f(1) = 2
Limite pela direita ( limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) = f(1) ):
a + b = 2
Valor da função em a - 1 = 2 :
a = 3
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Já sabemos que , então substituindo:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em todo a = 3 são: