Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais (). A função está dividida em três partes:
Para :
Para :
Para :
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e aplicar esse conceito nos pontos onde a definição da função muda, que são em e .
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Vamos calcular:
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Então já sabemos que .
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja contínua em .
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Já sabemos que , então substituindo:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em todo são: