Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). A função está dividida em três partes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e aplicar esse conceito nos pontos onde a definição da função muda, que são em e .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Vamos calcular:
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):
Valor da função em :
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Então já sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja contínua em .
Limite pela esquerda ( ):
Limite pela direita ( ):
Valor da função em :
Para a continuidade em , precisamos que:
Ou seja:
Já sabemos que , então substituindo:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em todo são:

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.
Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para .