Sabe-se que a p-série sumn=1^infty 1n^p converge se p>1 e diverge se p <= 1. Assim, decida se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 5n^2023

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é a soma de termos da forma 5n^2023. O conteúdo aqui é sobre séries numéricas e, mais especificamente, sobre o teste da p-série para determinar se a série converge ou não. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é uma p-série e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma p-série. Uma p-série tem a forma sumn=1^infty 1n^p, onde p é uma constante. O teste da p-série nos diz que:
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p ≤ 1, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos comparar a série que temos com a p-série padrão. A nossa série é sumn=1^infty 5n^2023. Podemos reescrever isso como 5 cdot sumn=1^infty 1n^2023, o que mostra que é uma p-série multiplicada por uma constante.

Passo 4

O próximo passo é identificar o valor de p na nossa série. Aqui, p = 2023. Como 2023 é muito maior que 1, claramente p > 1.

Passo 5

Aplicando o teste da p-série, já que p = 2023 > 1, a série sumn=1^infty 1n^2023 converge. E como multiplicar uma série convergente por uma constante (no caso, 5) não muda a sua convergência, a nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5n^2023 converge.

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