Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem a série convergir. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas, especialmente séries geométricas. Vamos precisar verificar quando a série converge e depois calcular a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma **série geométrica**, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A série geométrica **converge** se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, a razão é . Então, a condição de convergência fica: Resolvendo essa inequação para : Então, a série converge para todos os valores de que satisfazem .

Passo 5

Agora que sabemos quando a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é: No nosso caso, (porque quando , ) e . Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que , e a soma da série é .

Exercícios relacionados

Um médico prescreve um comprimido de antibiótico de 100 mg que deve ser tomado a cada 8 horas. Sabe-se que o corpo elimina da droga em 8 horas. (a) Quanto da droga está no corpo logo antes do segundo comprimido ser ingerido? E do terceiro comprimido?
O tempo, em minutos, que um medicamento leva para fazer efeito em uma pessoa é dado pela funçāo: Considere que é a idade e é o tempo em minutos. Em um paciente que possui 30 anos, o tempo necessário para que esse remédio faça efeito é de: (Use .) A) 2 minutos e 70 segundos. B) 2 minutos e 42 segundos. C) 3 minutos e 26 segundos, D) 5 minutos. E) 7 minutos e 30 segundos.
Considere definida por . (a) Calcule .
Para cada item, obtenha o gráfico da função correspondente utilizando transformaçōes (translaçōes verticais e/ou horizontais, homotetias e reflexōes) dos gráficos conhecidos. (d)