Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=0^infty x^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem a série convergir. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas, especialmente séries geométricas. Vamos precisar verificar quando a série converge e depois calcular a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, a razão | x2 | < 1 é |x| < 2 . Então, a condição de convergência fica:
Resolvendo essa inequação para :
Então, a série converge para todos os valores de que satisfazem .

Passo 5

Agora que sabemos quando a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma S = a1 - r de uma série geométrica que converge é:
S = 11 - x2 = 22 - x
No nosso caso, (porque quando , ) e . Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que , e a soma da série é .

Exercícios relacionados