Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem a série convergir. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas, especialmente séries geométricas. Vamos precisar verificar quando a série converge e depois calcular a soma dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma **série geométrica**, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A série geométrica **converge** se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, a razão é . Então, a condição de convergência fica:
Resolvendo essa inequação para :
Então, a série converge para todos os valores de que satisfazem .
Passo 5
Agora que sabemos quando a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
No nosso caso, (porque quando , ) e . Substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que , e a soma da série é .