O tempo, em minutos, que um medicamento leva para fazer efeito em uma pessoa é dado pela funçāo: Considere que é a idade e é o tempo em minutos. Em um paciente que possui 30 anos, o tempo necessário para que esse remédio faça efeito é de: (Use .) A) 2 minutos e 70 segundos. B) 2 minutos e 42 segundos. C) 3 minutos e 26 segundos, D) 5 minutos. E) 7 minutos e 30 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função que nos dá o tempo, em minutos, que um medicamento leva para fazer efeito baseado na idade da pessoa. A função é:
Aqui, é a idade da pessoa. No nosso caso, queremos saber quanto tempo o medicamento leva para uma pessoa de 30 anos. Vamos precisar usar propriedades de logaritmos e fazer algumas substituições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por 30 na função para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Então, a função fica:

Passo 4

Sabemos que . Mas precisamos encontrar . Lembre-se que:
E também sabemos que:
Substituindo o valor que conhecemos:
Então, isolando :

Passo 5

Agora, voltando à nossa função:
Mas queremos a resposta em minutos e segundos. Sabemos que 0,7 minutos é igual a:

Resposta

O tempo necessário para que o remédio faça efeito em um paciente de 30 anos é de 2 minutos e 42 segundos. Portanto, a resposta correta é a opção B).

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