Encontre a velocidade v e a posição x em função de t de uma partícula de massa m que parte do repouso em t=0 sujeita às seguintes forças:
F=F0 cos omega t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma partícula de massa m que começa do repouso em t=0 e está sendo sujeita a uma força que varia com o tempo, dada por F = F0 cos omega t. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade v da partícula em função do tempo t.
  2. A posição x da partícula em função do tempo t.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton e cálculo, especialmente integração, já que a força depende do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante F sobre uma partícula é igual à massa m multiplicada pela aceleração a dela:
F = m a
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
a = dvdt
Então, substituindo na equação da força:
F = m dvdt

Passo 3

Agora, sabemos que a força que está agindo na partícula é F = F0 cos omega t. Então, colocamos isso na equação:
F0 cos omega t = m dvdt
Para encontrar a velocidade v(t), precisamos isolar dvdt:
dvdt = F0m cos omega t

Passo 4

Para encontrar v(t), vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
integral dvdt , dt = integral F0m cos omega t , dt
A integral da derivada de v em relação a t é simplesmente v(t):
v(t) = F0m integral cos omega t , dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral cos omega t , dt = sin omega tomega
Então, substituindo de volta:
v(t) = F0m cdot sin omega tomega + C
Como a partícula parte do repouso, sabemos que em t=0, v(0) = 0. Vamos usar isso para encontrar C:
0 = F0m cdot sin 0omega + C Rightarrow C = 0
Portanto, a velocidade é:
v(t) = F0m omega sin omega t

Passo 6

Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar a posição x(t) integrando v(t) em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral F0m omega sin omega t , dt + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver essa integral:
integral sin omega t , dt = -cos omega tomega
Substituindo de volta:
x(t) = F0m omega cdot ( -cos omega tomega ) + D = -F0m omega^2 cos omega t + D
Novamente, sabemos que em t=0, a partícula está no repouso e presumivelmente na posição inicial x(0) = 0. Vamos usar isso para encontrar D:
0 = -F0m omega^2 cos 0 + D Rightarrow D = F0m omega^2
Então, a posição fica:
x(t) = F0m omega^2 ( 1 - cos omega t )

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = F0m omega sin omega t
E a posição em função do tempo é:
x(t) = F0m omega^2 ( 1 - cos omega t )

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