Encontre a velocidade
e a posição
em função de
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma partícula de massa
que começa do repouso em
e está sendo sujeita a uma força que varia com o tempo, dada por
. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
- A velocidade
da partícula em função do tempo . - A posição
da partícula em função do tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton e cálculo, especialmente integração, já que a força depende do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante
sobre uma partícula é igual à massa
multiplicada pela aceleração
dela:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Então, substituindo na equação da força:
Passo 3
Agora, sabemos que a força que está agindo na partícula é
. Então, colocamos isso na equação:
Para encontrar a velocidade
, precisamos isolar
:
Passo 4
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
A integral da derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Então, substituindo de volta:
Como a partícula parte do repouso, sabemos que em
,
. Vamos usar isso para encontrar
:
Portanto, a velocidade é:
Passo 6
Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar a posição
integrando
em relação ao tempo:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver essa integral:
Substituindo de volta:
Novamente, sabemos que em
, a partícula está no repouso e presumivelmente na posição inicial
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a posição fica:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a posição em função do tempo é: