Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posiçåo x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 (x0=0) sujeita às seguintes forças: (Veicr. 2 rho pectost)
b) Fx=Fo sen ct

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício. A gente tem uma partícula de massa que parte do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero e posição inicial . A força que está atuando nela é . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a posição dessa partícula em função do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
Onde m cdot dvdt = F0 sin(omega t) é a aceleração da partícula. Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar essa equação em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos isolar a derivada da velocidade:
dvdt = F0m sin(omega t)
Agora, integramos ambos os lados em relação a v(t) = integral F0m sin(omega t) , dt :
v(t) = -F0m omega cos(omega t) + C
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso, sabemos que em , . Vamos usar essa condição para encontrar .

Passo 4

Aplicando a condição inicial 0 = -F0m omega cos(0) + C Rightarrow 0 = -F0m omega (1) + C :
v(t) = F0m omega (1 - cos(omega t))
Assim, . Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral F0m omega (1 - cos(omega t)) , dt . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando, temos:
x(t) = F0m omega integral (1 - cos(omega t)) , dt = F0m omega ( t - sin(omega t)omega ) + D
Onde é a constante de integração. Como a posição inicial é , podemos determinar .

Passo 7

Aplicando a condição inicial 0 = F0m omega (0 - sin(0)omega) + D Rightarrow D = 0 :
x(t) = F0m omega t - F0m omega^2 sin(omega t)
Portanto, a expressão para a posição fica:

Resposta

A velocidade em função do tempo é:
v(t) = F0m omega (1 - cos(omega t))
E a posição em função do tempo é:
x(t) = F0m omega t - F0m omega^2 sin(omega t)

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