Encontre a velocidade e a posição -em função de nos itens (a) e (b) e a velocidade em função da posiçåo nos itens © e (d), para uma particula de massa que parte do repouso em sujeita às seguintes forças: (Veicr. pectost)
b) sen ct

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício. A gente tem uma partícula de massa que parte do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero e posição inicial . A força que está atuando nela é . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade e a posição dessa partícula em função do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton, que diz:
Onde é a aceleração da partícula. Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Para encontrar a velocidade , precisamos integrar essa equação em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos isolar a derivada da velocidade:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso, sabemos que em , . Vamos usar essa condição para encontrar .

Passo 4

Aplicando a condição inicial :
Assim, . Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando, temos:
Onde é a constante de integração. Como a posição inicial é , podemos determinar .

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Portanto, a expressão para a posição fica:

Resposta

A velocidade em função do tempo é:
E a posição em função do tempo é:

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c)