Encontre a velocidade v e a posição x em função de t de uma partícula de massa m que parte do repouso em t=0 sujeita às seguintes forças:
F=F0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que começa do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero, no tempo . Ela está sujeita a uma força constante . Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade da partícula em função do tempo .
  2. A posição da partícula em função do tempo .
Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton, especificamente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que é F0 = m cdot a , onde a = F0m é a aceleração. Como a força é constante e igual a , podemos escrever:
Para encontrar a aceleração , basta rearranjar a equação:
Assim, a aceleração da partícula é constante e igual a .

Passo 3

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a aceleração é constante, podemos integrar para encontrar a velocidade v(t) = v0 + integral0^t a , dt . A velocidade inicial v(t) = 0 + integral0^t F0m , dt = F0m cdot t é zero porque a partícula parte do repouso. Ent��o:
v(t) = F0m cdot t
Substituindo :
Portanto, a velocidade da partícula em função do tempo é:

Passo 4

Agora, para encontrar a posição x(t) = x0 + integral0^t v(t) , dt , sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. A posição inicial x(t) = 0 + integral0^t F0m cdot t , dt = F0m cdot t^22 também é zero, já que a partícula parte do ponto x(t) = F02m cdot t^2 . Então:
Substituindo :
Portanto, a posição da partícula em função do tempo é:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e a posição em função do tempo é .

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