Uma partícula de massa m está inicialmente em repouso. Subitamente, no instante t=0, aplica-se uma força constante F0. Depois de um intervalo de tempo t0 a força subitamente dobra de valor e permanece constante daí para a frente. Encontre a velocidade da partícula e o deslocamento total no instante t=2 t0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma partícula com massa que está inicialmente em repouso. No instante , uma força constante é aplicada. Após um tempo , essa força dobra de valor para e permanece assim até o tempo . Precisamos encontrar a velocidade da partícula e o deslocamento total nesse instante final.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de segunda lei de Newton e movimento com aceleração constante. Vamos precisar calcular a aceleração da partícula em cada período (de a e de a ), depois integrar essas acelerações para encontrar a velocidade e o deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a aceleração da partícula quando a força é F = m cdot a .
De acordo com a segunda lei de Newton:
a1 = F0m
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a massa da partícula,
  • é a aceleração.
Rearranjando para encontrar a aceleração:
Então, a aceleração inicial é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da partícula após o primeiro intervalo de tempo v1 = a1 cdot t0 = F0m cdot t0 .
Sabemos que, partindo do repouso, a velocidade final após um tempo com aceleração é dada por:

Passo 4

No instante a2 = 2F0m , a força aplicada dobra, passando a ser . Vamos calcular a nova aceleração :
Essa será a aceleração da partícula do tempo até .

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade final v2 = v1 + a2 cdot t0 = F0m cdot t0 + 2F0m cdot t0 = 3F0m cdot t0 no instante . Durante o segundo intervalo de tempo , a partícula acelera com :

Passo 6

Agora, vamos calcular o deslocamento total S1 = 12 a1 t0^2 = 12 cdot F0m cdot t0^2 no instante S2 = v1 t0 + 12 a2 t0^2 = ( F0m t0 ) t0 + 12 cdot 2F0m cdot t0^2 = F0m t0^2 + F0m t0^2 = 2F0m t0^2 . O deslocamento é a soma dos deslocamentos nos dois intervalos de tempo.
Primeiro deslocamento S = S1 + S2 = 12 cdot F0m cdot t0^2 + 2F0m cdot t0^2 = 5F02m t0^2 durante o primeiro :
Segundo deslocamento durante o segundo :
Então, o deslocamento total:

Resposta

No instante , a velocidade da partícula é e o deslocamento total é .

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