Mostre que a razão entre duas elongações máximas sucessivas de um oscilador harmônico amortecido é constante. (Nota: Os máximos não ocorrem nos pontos de contato da curva de elongação em função do tempo com a curva A e^-gamma t ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico amortecido. A questão pede para mostrar que a razão entre duas elongações máximas sucessivas é sempre constante. Para isso, precisamos entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como o amortecimento afeta as oscilações. Vamos usar a matemática básica dos osciladores amortecidos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de movimento para um oscilador harmônico amortecido. A elongação x(t) = A e^-gamma t cos(omega t + phi) em função do tempo é dada por:
Aqui, é a amplitude inicial, é o coeficiente de amortecimento, é a frequência angular e é a fase inicial.

Passo 3

Para encontrar os máximos de elongação, precisamos identificar quando o cosseno atinge seus valores máximos, ou seja, quando . Isso ocorre em instantes de tempo específicos onde , com inteiro.

Passo 4

A elongação máxima no instante xn = A e^-gamma tn é então:
xn+1 = A e^-gamma tn+1
E no próximo pico, em , a elongação máxima é:

Passo 5

Queremos encontrar a razão entre duas elongações máximas consecutivas, ou seja:
xn+1xn = A e^-gamma tn+1A e^-gamma tn = e^-gamma (tn+1 - tn)

Passo 6

Agora, precisamos descobrir a diferença de tempo omega (tn+1 - tn) = pi . Como os picos ocorrem a cada meio ciclo da oscilação, temos:
tn+1 - tn = piomega
Então,

Passo 7

Substituindo essa diferença na razão das elongações:
xn+1xn = e^-gamma piomega

Passo 8

Vemos que essa razão depende apenas do coeficiente de amortecimento e da frequência , que são constantes para o sistema. Portanto, a razão entre duas elongações máximas consecutivas é um valor constante.

Resposta

A razão entre duas elongações máximas sucessivas de um oscilador harmônico amortecido é constante e igual a .

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