Mostre que a razão entre duas elongações máximas sucessivas de um oscilador harmônico amortecido é constante. (Nota: Os máximos não ocorrem nos pontos de contato da curva de elongação em função do tempo com a curva
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico amortecido. A questão pede para mostrar que a razão entre duas elongações máximas sucessivas é sempre constante. Para isso, precisamos entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como o amortecimento afeta as oscilações. Vamos usar a matemática básica dos osciladores amortecidos para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de movimento para um oscilador harmônico amortecido. A elongação
em função do tempo é dada por:
Aqui,
é a amplitude inicial,
é o coeficiente de amortecimento,
é a frequência angular e
é a fase inicial.
Passo 3
Para encontrar os máximos de elongação, precisamos identificar quando o cosseno atinge seus valores máximos, ou seja, quando
. Isso ocorre em instantes de tempo específicos
onde
, com
inteiro.
Passo 4
A elongação máxima no instante
é então:
E no próximo pico, em
, a elongação máxima é:
Passo 5
Queremos encontrar a razão entre duas elongações máximas consecutivas, ou seja:
Passo 6
Agora, precisamos descobrir a diferença de tempo
. Como os picos ocorrem a cada meio ciclo da oscilação, temos:
Então,
Passo 7
Substituindo essa diferença na razão das elongações:
Passo 8
Vemos que essa razão depende apenas do coeficiente de amortecimento
e da frequência
, que são constantes para o sistema. Portanto, a razão entre duas elongações máximas consecutivas é um valor constante.
Resposta
A razão entre duas elongações máximas sucessivas de um oscilador harmônico amortecido é constante e igual a
.