Dê as equações paramétricas e faça um esboço da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao segmento A B, onde:
(a) A=(1,2) e B=(-1,-2);
(b) A=(0,-1) e B=(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e que é paralela ao segmento . Além disso, temos que fazer um esboço dessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no plano cartesiano e como encontrar suas equações. Vamos precisar entender como determinar a direção de uma reta paralela a um segmento dado e como expressar essa reta em forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde AB = B - A = (-1 - 1, -2 - 2) = (-2, -4) e .
Para encontrar a reta paralela a que passa por , precisamos determinar o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Esse vetor nos dá a direção da reta que queremos.

Passo 3

Agora, com o vetor diretor x = x0 + a cdot t e o ponto y = y0 + b cdot t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor são:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
x = 1 + (-2) cdot t = 1 - 2t
y = 2 + (-4) cdot t = 2 - 4t
Então, as equações paramétricas da reta são:
x = 1 - 2t
y = 2 - 4t

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde AB = B - A = (2 - 0, 3 - (-1)) = (2, 4) e .
Primeiro, encontramos o vetor diretor :

Passo 6

Com o vetor diretor x = x0 + a cdot t e o ponto y = y0 + b cdot t , aplicamos a mesma fórmula das equações paramétricas:
x = 0 + 2t = 2t
y = -1 + 4t
Substituindo os valores:
x = 2t
y = -1 + 4t
Portanto, as equações paramétricas da reta são:

Resposta

Para a parte (a):
x = 1 - 2t y = 2 - 4t
Para a parte (b):
x = 2t y = -1 + 4t
Essas são as equações paramétricas das retas que passam pelos pontos dados e são paralelas aos segmentos . O esboço dessas retas mostraria linhas que seguem a direção dos vetores correspondentes, passando pelos pontos especificados.

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