Escreva a equação para uma onda que se desloca no sentido positivo ao longo do eixo dos z e que tem amplitude de 0,05 m, comprimento de onda de 0,5 m e uma velocidade de 400 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a equação de uma onda que se move na direção positiva do eixo . A onda tem uma amplitude de , um comprimento de onda de e uma velocidade de . Para isso, vamos usar os conceitos de ondas mecânicas, especificamente a equação de uma onda senoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de uma onda que se desloca ao longo do eixo y(z, t) = A cdot sin(kz - omega t + phi) . A equação padrão é:
Aqui, é a amplitude, é o número de onda, é a frequência angular, e é a fase inicial. Como não foi mencionada uma fase inicial, podemos considerar para simplificar.

Passo 3

Vamos identificar cada um dos valores que precisamos:
  • Amplitude ( ): Já sabemos que é .
  • Comprimento de onda ( ): É .
  • Velocidade ( ): Dada como .
Agora, precisamos encontrar o número de onda ( ) e a frequência angular ( ) usando e .

Passo 4

O número de onda ( k = 2pilambda ) está relacionado com o comprimento de onda pela fórmula:
k = 2pi0,5 = 4pi , rad/m
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a frequência angular ( v = f cdot lambda ). Sabemos que a velocidade da onda ( f = vlambda = 4000,5 = 800 , Hz ) é o produto da frequência ( omega = 2pi f = 2pi cdot 800 = 1600pi , rad/s ) pelo comprimento de onda ( ):
Podemos rearranjar para encontrar :
A frequência angular ( ) está relacionada com a frequência ( ) por:

Passo 6

Agora que temos todos os valores, podemos substituir na equação geral da onda:
y(z, t) = A cdot sin(kz - omega t)
Substituindo y(z, t) = 0,05 cdot sin(4pi z - 1600pi t) , e :

Resposta

A equação da onda é:
y(z, t) = 0,05 cdot sin(4pi z - 1600pi t)

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