Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
(a) r(t) = ln(sec(t)) i + t j -> P 13.4 .2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura da curva definida por . Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores e conceitos de geometria diferencial como curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é a derivada da posição em relação a , normalizado para ter comprimento 1. Então, vamos derivar .
A derivada de é:
Vamos calcular cada componente:
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Então, o vetor derivada é:

Passo 3

Agora, vamos normalizar para obter o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal . O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a , normalizado. Vamos derivar :
Agora, normalizamos :
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a curvatura . A curvatura mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto e é dada pela fórmula:
Já calculamos e , então:

Resposta

O vetor tangente unitário é , o vetor normal unitário é e a curvatura da curva é .

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