Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura da curva definida por
. Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores e conceitos de geometria diferencial como curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente
é a derivada da posição
em relação a
, normalizado para ter comprimento 1. Então, vamos derivar
.
A derivada de
é:
Vamos calcular cada componente:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Então, o vetor derivada é:
Passo 3
Agora, vamos normalizar
para obter o vetor tangente unitário
. Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal
. O vetor normal é a derivada do vetor tangente
em relação a
, normalizado. Vamos derivar
:
Agora, normalizamos
:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a curvatura
. A curvatura mede o quanto a curva está “curvando” em um ponto e é dada pela fórmula:
Já calculamos
e
, então:
Resposta
O vetor tangente unitário é
, o vetor normal unitário é
e a curvatura da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(a) ;
(a)
Considerando ainda os conjuntos
e
, determine duas relações que são funções e duas relações que não são funções, todas distintas daquelas já apresentadas nos exercícios.
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
© ;
©
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(e) ;
(e)