Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma curva representada pelo vetor posição . Precisamos encontrar o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas de vetores e fórmulas de curvatura.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor tangente. O vetor tangente é dado pela derivada da posição em relação a , ou seja, , normalizado para ter comprimento 1. Primeiro, calculamos :
Passo 3
Agora, vamos normalizar para encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos o módulo de :
Portanto, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal . Para isso, precisamos calcular a derivada do vetor tangente unitário e normalizá-la. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o módulo de :
Portanto, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a curvatura da curva. A curvatura é dada por:
Primeiro, calculamos a segunda derivada :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
Calculamos o módulo desse vetor:
Sabendo que , temos:
Resposta
O vetor tangente unitário é , o vetor normal unitário é , e a curvatura da curva é .