Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
© r(t) = (6 sen(2t)) i + (6 cos(2t)) j + 5t k → P 13.4 · 12

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma curva representada pelo vetor posição . Precisamos encontrar o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas de vetores e fórmulas de curvatura.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor tangente. O vetor tangente T(t) é dado pela derivada da posição em relação a t, ou seja, , normalizado para ter comprimento 1. Primeiro, calculamos :

Passo 3

Agora, vamos normalizar para encontrar o vetor tangente unitário T(t). Para isso, calculamos o módulo de :
Portanto, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal N(t). Para isso, precisamos calcular a derivada do vetor tangente unitário e normalizá-la. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o módulo de :
Portanto, o vetor normal unitário é:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a curvatura kappa(t) da curva. A curvatura é dada por:
Primeiro, calculamos a segunda derivada :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
Calculamos o módulo desse vetor:
Sabendo que , temos:

Resposta

O vetor tangente unitário é , o vetor normal unitário é , e a curvatura da curva é .

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