(a) Encontre um vetor u não nulo , ortogonal ao plano pi que contém os pontos P=(-2,3,1), Q= (1,5,2), R=(4,3,-1) e contendo P .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar um vetor não nulo, chamado u, que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao plano pi. Esse plano é definido pelos pontos P=(-2,3,1), Q=(1,5,2) e R=(4,3,-1). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar um vetor perpendicular a um plano, podemos usar o produto vetorial de dois vetores que estão no próprio plano. Então, nosso primeiro passo é encontrar dois vetores que estão no plano pi.
Como temos três pontos no plano, podemos formar dois vetores subtraindo as coordenadas desses pontos. Vamos usar P como ponto de referência.

Passo 3

Vamos calcular os vetores PQ e PR:
PQ = Q - P = (1 - (-2), 5 - 3, 2 - 1) = (3, 2, 1)
PR = R - P = (4 - (-2), 3 - 3, -1 - 1) = (6, 0, -2)

Passo 4

Agora que temos os vetores PQ = (3, 2, 1) e PR = (6, 0, -2), vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano pi.
A fórmula do produto vetorial u = PQ times PR é:
u = | ccc i & j & k 3 & 2 & 1 6 & 0 & -2 |
Calculando o determinante:
u = i(2 cdot (-2) - 1 cdot 0) - j(3 cdot (-2) - 1 cdot 6) + k(3 cdot 0 - 2 cdot 6)
u = i(-4) - j(-6 - 6) + k(0 - 12)
u = (-4)i + 12j -12k
Então, o vetor u = (-4, 12, -12).

Resposta

Um vetor não nulo ortogonal ao plano pi é u = (-4, 12, -12).

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