Sabe-se que e , com w ortogonal a e . Determine ortogonal tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que age em vetores no espaço tridimensional. Temos que encontrar uma matriz ortogonal que, quando usamos para mudar de base, transforma na matriz diagonal dada. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, e matrizes de mudança de base ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores e os autovetores da transformação T(1,1,-1) = 3(1,1,-1) e T(1,0,1) = 3(1,0,1) . O enunciado nos dá que:
Isso significa que os vetores e são autovetores de com autovalor . Além disso, nos informam que existe um terceiro vetor que também é um autovetor de com autovalor e que é ortogonal aos outros dois autovetores.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que temos uma base ortonormal formada pelos autovetores. Primeiro, vamos verificar se os autovetores dados são ortogonais entre si:
(1,1,-1) cdot (1,0,1) = 1 times 1 + 1 times 0 + (-1) times 1 = 1 - 1 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Agora, vamos normalizar esses vetores para que tenham comprimento 1.
Passo 4
A normalização é feita dividindo cada vetor pelo seu módulo. O módulo de | (1,1,-1) | = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 é:
u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, -1raiz3 )
Então, o vetor normalizado é:
| (1,0,1) | = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2
De forma similar, para u2 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) :
E o vetor normalizado é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor w = u1 times u2 que é ortogonal aos dois anteriores e também de comprimento 1. Como w = | ccc i & j & k 1raiz3 & 1raiz3 & -1raiz3 1raiz2 & 0 & 1raiz2 | é ortogonal a w = ( 1raiz3 cdot 1raiz2 - ( -1raiz3 cdot 0 ) ) i - ( 1raiz3 cdot 1raiz2 - -1raiz3 cdot 1raiz2 ) j + ( 1raiz3 cdot 0 - 1raiz3 cdot 1raiz2 ) k e w = ( 1raiz6 ) i - ( 2raiz6 ) j - ( 1raiz6 ) k , podemos usar o produto vetorial entre w = ( 1raiz6, -2raiz6, -1raiz6 ) e para encontrar :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 6
Com os três vetores ortonormais P = 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6 1raiz3 & 0 & -2raiz6 -1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz6 , e , podemos construir a matriz ortogonal colocando esses vetores como colunas:
Passo 7
Finalmente, para encontrar P T P^-1 = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 , como é ortogonal (), a transformação fica diagonalizada com os autovalores na diagonal: