Sabe-se que e , com w ortogonal a e . Determine ortogonal tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que age em vetores no espaço tridimensional. Temos que encontrar uma matriz ortogonal que, quando usamos para mudar de base, transforma na matriz diagonal dada. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, e matrizes de mudança de base ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores e os autovetores da transformação . O enunciado nos dá que:
Isso significa que os vetores e são autovetores de com autovalor . Além disso, nos informam que existe um terceiro vetor que também é um autovetor de com autovalor e que é ortogonal aos outros dois autovetores.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que temos uma base ortonormal formada pelos autovetores. Primeiro, vamos verificar se os autovetores dados são ortogonais entre si:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Agora, vamos normalizar esses vetores para que tenham comprimento 1.

Passo 4

A normalização é feita dividindo cada vetor pelo seu módulo. O módulo de é:
Então, o vetor normalizado é:
De forma similar, para :
E o vetor normalizado é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor que é ortogonal aos dois anteriores e também de comprimento 1. Como é ortogonal a e , podemos usar o produto vetorial entre e para encontrar :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 6

Com os três vetores ortonormais , e , podemos construir a matriz ortogonal colocando esses vetores como colunas:

Passo 7

Finalmente, para encontrar , como é ortogonal ( ), a transformação fica diagonalizada com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz ortogonal que satisfaz é:

Exercícios relacionados

A medida angular em radianos entre os vetores e é , a norma de é e a norma de é . Determine o cosseno do ângulo entre e .
(a) Encontre um vetor não nulo , ortogonal ao plano que contém os pontos e contendo P .
Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(g)
(h)