Mostre que se
e
são subespaços de um espaço vetorial
, então
também é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
e
são subespaços de um espaço vetorial
, então a interseção deles,
, também é um subespaço de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se
satisfaz as três condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o vetor zero está em
. Sabemos que todo subespaço vetorial, por definição, contém o vetor zero. Como
e
são subespaços de
, o vetor zero pertence a ambos. Logo,
e
, o que implica que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
. Como
e
estão em
, elas estão tanto em
quanto em
. Sabemos que
e
são subespaços, então são fechados sob adição. Portanto,
está em
e também está em
, ou seja,
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por um escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o produto
também deve estar em
. Como
está em
, ela está em
e em
. Sabemos que
e
são subespaços, então são fechados sob multiplicação por escalar. Logo,
está tanto em
quanto em
, ou seja,
.
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
, ou seja,
é um subespaço de
.