Mostre que se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então U cap W também é subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se e são subespaços de um espaço vetorial , então a interseção deles, , também é um subespaço de . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se satisfaz as três condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o vetor zero está em . Sabemos que todo subespaço vetorial, por definição, contém o vetor zero. Como e são subespaços de , o vetor zero pertence a ambos. Logo, e , o que implica que .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em . Como e estão em , elas estão tanto em quanto em . Sabemos que e são subespaços, então são fechados sob adição. Portanto, está em e também está em , ou seja, .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por um escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor em e um escalar , o produto também deve estar em . Como está em , ela está em e em . Sabemos que e são subespaços, então são fechados sob multiplicação por escalar. Logo, está tanto em quanto em , ou seja, .

Resposta

Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de , ou seja, é um subespaço de .

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