Verificar se transformações abaixo são lineares.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A questão pede para verificar se uma transformação
definida por
, onde
é um número real, é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e quais propriedades elas devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade (ou conservação da soma):
- Homogeneidade (ou conservação da multiplicação por escalar):
Além disso, uma propriedade importante é que uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja:
Passo 3
Vamos começar verificando se
mapeia o vetor zero em
para o vetor zero em
.
Calculando
:
Para que
seja linear, precisamos que
. Isso só acontece se
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as duas propriedades principais de linearidade, assumindo que
.
-
Aditividade:
Sejae . Então: Por outro lado:Então,. -
Homogeneidade:
Sejaum escalar e . Então: Então,.
Resposta
A transformação
é linear somente quando
.
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Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
pela definição.
Verificar se transformações abaixo são lineares. Seja
em
, dada por
, usando os vetores
e o escalar
.
Verificar se transformações abaixo são lineares. A expressão geral de uma transformação linear
em
é
. Dados os vetores
, determine
de tal modo que se tenha
e
.
Encontre um vetor u tal que seja ortogonais aos vetores
e
.