Verificar se transformações abaixo são lineares. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A questão pede para verificar se uma transformação definida por , onde é um número real, é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e quais propriedades elas devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade (ou conservação da soma):
  2. Homogeneidade (ou conservação da multiplicação por escalar):
Além disso, uma propriedade importante é que uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja:

Passo 3

Vamos começar verificando se mapeia o vetor zero em para o vetor zero em .
Calculando :
Para que seja linear, precisamos que . Isso só acontece se .

Passo 4

Agora, vamos verificar as duas propriedades principais de linearidade, assumindo que .
  1. Aditividade:
    Seja e . Então:
    Por outro lado:
    Então, .
  2. Homogeneidade:
    Seja um escalar e . Então:
    Então, .

Resposta

A transformação é linear somente quando .

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