Verificar se transformações abaixo são lineares. T: R^3 em R^3, T(x, y, z)=(3 x, a, 5 y), onde a in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A questão pede para verificar se uma transformação definida por , onde é um número real, é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares e quais propriedades elas devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) em T(0) = 0 e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade (ou conservação da soma):
  2. Homogeneidade (ou conservação da multiplicação por escalar):
Além disso, uma propriedade importante é que uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja:

Passo 3

Vamos começar verificando se T(0, 0, 0) = (3 cdot 0, , a, , 5 cdot 0) = (0, , a, , 0) mapeia o vetor zero em para o vetor zero em .
Calculando :
Para que seja linear, precisamos que . Isso só acontece se .

Passo 4

Agora, vamos verificar as duas propriedades principais de linearidade, assumindo que T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (3(x1 + x2), , 0, , 5(y1 + y2)) = (3x1 + 3x2, , 0, , 5y1 + 5y2) .
  1. Aditividade:
    Seja T(u) + T(v) = (3x1, , 0, , 5y1) + (3x2, , 0, , 5y2) = (3x1 + 3x2, , 0 + 0, , 5y1 + 5y2) = (3x1 + 3x2, , 0, , 5y1 + 5y2) e T(cu) = T(cx, cy, cz) = (3(cx), , 0, , 5(cy)) = (c(3x), , 0, , c(5y)) = c(3x, , 0, , 5y) = cT(u) . Então:
    Por outro lado:
    Então, .
  2. Homogeneidade:
    Seja um escalar e . Então:
    Então, .

Resposta

A transformação é linear somente quando .

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