Sendo |u|=26,|v|=3 e |u times v|=72, calcule u cdot v sabendo que u e v formam um ângulo obtuso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas vetores, e , com os seguintes comprimentos:
  • E o módulo do produto vetorial
Queremos encontrar o produto escalar , sabendo que o ângulo entre eles é obtuso (maior que 90 graus). Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de álgebra vetorial que relacionam produto escalar e produto vetorial com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo do produto vetorial está relacionado ao seno do ângulo entre os vetores:
Onde |u times v| = |u| cdot |v| cdot sen(theta) é o ângulo entre sen(theta) = |u times v||u| cdot |v| = 7226 cdot 3 = 7278 = 1213 e . Vamos isolar :

Passo 3

Agora, sabemos que . Já temos , então:
Portanto,
cos^2(theta) = 1 - sen^2(theta) = 1 - (1213)^2 = 1 - 144169 = 25169

Passo 4

Como o ângulo cos(theta) = -513 é obtuso, sabemos que é negativo. Então:

Passo 5

O produto escalar u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) está relacionado ao cosseno do ângulo entre eles pela fórmula:
u cdot v = 26 cdot 3 cdot (-513) = 78 cdot (-513) = -30
Substituindo os valores que temos:

Resposta

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