Sendo e , calcule sabendo que e formam um ângulo obtuso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas vetores, e , com os seguintes comprimentos:
  • E o módulo do produto vetorial
Queremos encontrar o produto escalar , sabendo que o ângulo entre eles é obtuso (maior que 90 graus). Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de álgebra vetorial que relacionam produto escalar e produto vetorial com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo do produto vetorial está relacionado ao seno do ângulo entre os vetores:
Onde é o ângulo entre e . Vamos isolar :

Passo 3

Agora, sabemos que . Já temos , então:
Portanto,

Passo 4

Como o ângulo é obtuso, sabemos que é negativo. Então:

Passo 5

O produto escalar está relacionado ao cosseno do ângulo entre eles pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

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Sejam e vetores tridimensionais. Determine um vetor que satisfaz simultaneamente:
Tome os vetores e . Determine a projeção ortogonal de sobre .
Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e .
Sejam e vetores do espaço tais que
onde representa o ângulo entre e . Determine coeficientes e reais de modo que o vetor satisfaça simultaneamente: