Exercício 6.2 Seja
a superficie
e
um campo vetorial de classe
. Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
49
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície
que é uma parte de uma esfera de raio
(já que
) limitada entre as alturas
e
. Além disso, temos um campo vetorial
que é suficientemente suave (classe
). O exercício nos pede para justificar uma igualdade que relaciona a integral de superfície de
sobre
com duas integrais de linha sobre curvas
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que para uma superfície orientada
com uma borda
, a integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
:
No nosso caso, queremos relacionar a integral de
diretamente, então precisamos adaptar o teorema para a nossa situação específica.
Passo 3
Vamos analisar a superfície
. Ela é uma parte da esfera
cortada entre
e
. Assim, a borda dessa superfície consiste em duas curvas:
em
e
em
. Essas curvas são círculos de raio 1, já que substituindo
na equação da esfera, temos
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Como a borda
é composta por
e
, a integral de linha se divide em duas partes:
Passo 5
Contudo, na nossa igualdade original, estamos lidando com a integral de superfície de
, não do rotacional de
. Para reconciliar isso, podemos interpretar que a normal
está relacionada à orientação das curvas
e
. Especificamente, como a normal aponta para fora da esfera, uma das curvas terá orientação contrária à outra, o que justifica a soma das duas integrais de linha na igualdade.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, concluímos que:
Essa igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, considerando a orientação das curvas de borda e a normal à superfície.
Resposta
A igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície de
sobre
com as integrais de linha sobre as bordas
e
. Portanto,
Exercícios relacionados
Encontre um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
e obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
Use a fórmula
para obter
, sabendo que
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.