Exercício 6.2 Seja sigma a superficie
S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=4,-raiz3 <= z raiz3
e F um campo vetorial de classe C^1. Justifique a igualdade
integral duplasigma n o t F d S=integralGamma1 F cdot d Gamma2+integralGamma2 F cdot d Gamma2,
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Gamma1(t)=(cos t, sin t,-raiz3), 0 <= t <= 2 pi
e
Gamma1(t)=(cos t,-sin t, raiz3), 0 <= t <= 2 pi
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Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície sigma que é uma parte de uma esfera de raio 2 (já que x^2 + y^2 + z^2 = 4) limitada entre as alturas z = -raiz3 e z = raiz3. Além disso, temos um campo vetorial F que é suficientemente suave (classe C^1). O exercício nos pede para justificar uma igualdade que relaciona a integral de superfície de F sobre sigma com duas integrais de linha sobre curvas Gamma1 e Gamma2. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que para uma superfície orientada sigma com uma borda partial sigma, a integral de superfície do rotacional de F sobre sigma é igual à integral de linha de F ao longo da borda partial sigma:
integral duplasigma (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial sigma F cdot dGamma
No nosso caso, queremos relacionar a integral de F diretamente, então precisamos adaptar o teorema para a nossa situação específica.

Passo 3

Vamos analisar a superfície sigma. Ela é uma parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 cortada entre z = -raiz3 e z = raiz3. Assim, a borda dessa superfície consiste em duas curvas: Gamma1 em z = -raiz3 e Gamma2 em z = raiz3. Essas curvas são círculos de raio 1, já que substituindo z = pmraiz3 na equação da esfera, temos x^2 + y^2 = 4 - 3 = 1.

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
integral duplasigma (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial sigma F cdot dGamma
Como a borda partial sigma é composta por Gamma1 e Gamma2, a integral de linha se divide em duas partes:
ointpartial sigma F cdot dGamma = integralGamma1 F cdot dGamma + integralGamma2 F cdot dGamma

Passo 5

Contudo, na nossa igualdade original, estamos lidando com a integral de superfície de F, não do rotacional de F. Para reconciliar isso, podemos interpretar que a normal n está relacionada à orientação das curvas Gamma1 e Gamma2. Especificamente, como a normal aponta para fora da esfera, uma das curvas terá orientação contrária à outra, o que justifica a soma das duas integrais de linha na igualdade.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, concluímos que:
integral duplasigma F cdot n , dS = integralGamma1 F cdot dGamma + integralGamma2 F cdot dGamma
Essa igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, considerando a orientação das curvas de borda e a normal à superfície.

Resposta

A igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície de F sobre sigma com as integrais de linha sobre as bordas Gamma1 e Gamma2. Portanto,
integral duplasigma F cdot n , dS = integralGamma1 F cdot dGamma + integralGamma2 F cdot dGamma

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