Exercício 6.2 Seja a superficie
e um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
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Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície que é uma parte de uma esfera de raio (já que ) limitada entre as alturas e . Além disso, temos um campo vetorial que é suficientemente suave (classe ). O exercício nos pede para justificar uma igualdade que relaciona a integral de superfície de sobre com duas integrais de linha sobre curvas e . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que para uma superfície orientada com uma borda , a integral de superfície do rotacional de sobre é igual à integral de linha de ao longo da borda :
No nosso caso, queremos relacionar a integral de diretamente, então precisamos adaptar o teorema para a nossa situação específica.

Passo 3

Vamos analisar a superfície . Ela é uma parte da esfera cortada entre e . Assim, a borda dessa superfície consiste em duas curvas: em e em . Essas curvas são círculos de raio 1, já que substituindo na equação da esfera, temos .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Como a borda é composta por e , a integral de linha se divide em duas partes:

Passo 5

Contudo, na nossa igualdade original, estamos lidando com a integral de superfície de , não do rotacional de . Para reconciliar isso, podemos interpretar que a normal está relacionada à orientação das curvas e . Especificamente, como a normal aponta para fora da esfera, uma das curvas terá orientação contrária à outra, o que justifica a soma das duas integrais de linha na igualdade.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, concluímos que:
Essa igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, considerando a orientação das curvas de borda e a normal à superfície.

Resposta

A igualdade é justificada pelo Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície de sobre com as integrais de linha sobre as bordas e . Portanto,

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Encontre um vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em e obtenha a taxa de variação de em nessa direção.
Use a fórmula para obter , sabendo que
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.