Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar vetores geradores para o subespaço
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com subespaços vetoriais e como representá-los usando vetores que “geram” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação dada para expressar os vetores de
em termos de parâmetros livres.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é uma equação linear que representa um plano em
. Nosso objetivo é expressar
,
e
de forma que consigamos parametrizar todos os vetores que pertencem a esse plano.
Passo 3
Vamos escolher duas das três variáveis para serem livres, ou seja, podemos escolher valores arbitrários para elas. Normalmente, escolhemos as variáveis que facilitam a resolução. Aqui, vamos deixar
e
como variáveis livres. Vamos chamar elas de
e
, respectivamente:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original para resolver para
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, podemos expressar o vetor
em termos de
e
:
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear dos vetores separados por
e
:
Resposta
Os vetores geradores para o subespaço
são: