Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. B=(x, y, z) in R^3 mid 7 x+5 y-4 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar vetores geradores para o subespaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com subespaços vetoriais e como representá-los usando vetores que “geram” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação dada para expressar os vetores de em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é uma equação linear que representa um plano em . Nosso objetivo é expressar , e de forma que consigamos parametrizar todos os vetores que pertencem a esse plano.

Passo 3

Vamos escolher duas das três variáveis para serem livres, ou seja, podemos escolher valores arbitrários para elas. Normalmente, escolhemos as variáveis que facilitam a resolução. Aqui, vamos deixar y = s e z = t e como variáveis livres. Vamos chamar elas de e , respectivamente:

Passo 4

Agora, substituímos 7x + 5s - 4t = 0 7x = -5s + 4t x = -5s + 4t7 e x = -57s + 47t na equação original para resolver para :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, podemos expressar o vetor (x, y, z) = ( -57s + 47t, s, t ) em termos de (x, y, z) = s ( -57, 1, 0 ) + t ( 47, 0, 1 ) e :
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear dos vetores separados por e :

Resposta

Os vetores geradores para o subespaço ( -57, 1, 0 ) e ( 47, 0, 1 ) são:

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