Verifique que os polinômios e geram o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os polinômios , e geram o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especialmente sobre base e geração de espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) gerar um espaço, ou seja, conseguir representar qualquer elemento desse espaço como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os polinômios , e geram . Isso quer dizer que qualquer polinômio de grau até dois, que tem a forma geral , pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios. Em outras palavras, precisamos encontrar coeficientes , e tal que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear para igualar ao polinômio genérico:
Agora, agrupamos os termos de mesmo grau:

Passo 4

Comparando os coeficientes do polinômio resultante com , temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na terceira equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
Então, os coeficientes são:

Resposta

Sim, os polinômios , e geram o espaço , pois qualquer polinômio de grau menor ou igual a dois pode ser expresso como uma combinação linear desses três polinômios.

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Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Verifique que os vetores e geram o espaço vetorial , isto é, verifique que o espaço gerado por e é igual a .
Sejam bases ordenadas de . Determine:
©
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.