Verifique que os polinômios 1-x^2, x+2 e x^2 geram o espaço P2 dos polinômios de grau menor ou igual a dois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os polinômios , e geram o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especialmente sobre base e geração de espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) gerar um espaço, ou seja, conseguir representar qualquer elemento desse espaço como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os polinômios a x^2 + b x + c = k1 (1 - x^2) + k2 (x + 2) + k3 x^2 , e geram . Isso quer dizer que qualquer polinômio de grau até dois, que tem a forma geral , pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios. Em outras palavras, precisamos encontrar coeficientes , e tal que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear para igualar ao polinômio genérico:
k1 (1 - x^2) + k2 (x + 2) + k3 x^2 = k1 - k1 x^2 + k2 x + 2 k2 + k3 x^2
Agora, agrupamos os termos de mesmo grau:
(k1 + 2 k2) + (k2) x + (-k1 + k3) x^2

Passo 4

Comparando os coeficientes do polinômio resultante com -k1 + k3 = a k2 = b k1 + 2 k2 = c , temos o seguinte sistema de equações:
k1 + 2b = c implies k1 = c - 2b
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação, já sabemos que -(c - 2b) + k3 = a implies -c + 2b + k3 = a implies k3 = a + c - 2b .
  2. Substituindo k1 = c - 2b k2 = b k3 = a + c - 2b na terceira equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
Então, os coeficientes são:

Resposta

Sim, os polinômios , e geram o espaço , pois qualquer polinômio de grau menor ou igual a dois pode ser expresso como uma combinação linear desses três polinômios.

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