Verifique que os polinômios e geram o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os polinômios , e geram o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especialmente sobre base e geração de espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) gerar um espaço, ou seja, conseguir representar qualquer elemento desse espaço como uma combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os polinômios , e geram . Isso quer dizer que qualquer polinômio de grau até dois, que tem a forma geral , pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios. Em outras palavras, precisamos encontrar coeficientes , e tal que:
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear para igualar ao polinômio genérico:
Agora, agrupamos os termos de mesmo grau:
Passo 4
Comparando os coeficientes do polinômio resultante com , temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, já sabemos que .
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, os coeficientes são:
Resposta
Sim, os polinômios , e geram o espaço , pois qualquer polinômio de grau menor ou igual a dois pode ser expresso como uma combinação linear desses três polinômios.