Sejam alpha=(1,0),(0,2), beta=(-1,0),(1,1), gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
© [I]gamma^beta

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde são dadas três bases ordenadas de : , e . A tarefa é encontrar a matriz de mudança de base do espaço para , denotada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base nos permite expressar os vetores da base na base . Ou seja, cada vetor de será escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar identificando os vetores das bases beta = b1 = (-1, 0), b2 = (1, 1) e gamma = c1 = (1, 1), c2 = (-1, 0) :

Passo 4

Agora, vamos expressar cada vetor de c1 = x cdot b1 + y cdot b2 como uma combinação linear dos vetores de c2 = x' cdot b1 + y' cdot b2 . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 5

Vamos resolver para (1, 1) = x cdot (-1, 0) + y cdot (1, 1) :
Rightarrow (-x + y, 0 + y) = (1, 1)
-x + y = 1 (1)
Isso nos dá o sistema de equações:
y = 1 (2)

Passo 6

Da equação (2), já sabemos que -x + 1 = 1 Rightarrow -x = 0 Rightarrow x = 0 . Substituindo na equação (1):
Então, .

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para (-1, 0) = x' cdot (-1, 0) + y' cdot (1, 1) :
Rightarrow (-x' + y', 0 + y') = (-1, 0)
-x' + y' = -1 (3)
Isso nos dá o sistema de equações:
y' = 0 (4)

Passo 8

Da equação (4), sabemos que -x' + 0 = -1 Rightarrow -x' = -1 Rightarrow x' = 1 . Substituindo na equação (3):
Então, .

Passo 9

Agora que expressamos [I]gamma^beta = 0 & 1 1 & 0 e em termos de , podemos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes encontrados como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de base [I]gamma^beta = 0 & 1 1 & 0 é:

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