Sejam
bases ordenadas de
. Determine:
©
©
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde são dadas três bases ordenadas de
:
,
e
. A tarefa é encontrar a matriz de mudança de base do espaço
para
, denotada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base
nos permite expressar os vetores da base
na base
. Ou seja, cada vetor de
será escrito como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos começar identificando os vetores das bases
e
:
Passo 4
Agora, vamos expressar cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Da equação (2), já sabemos que
. Substituindo na equação (1):
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Da equação (4), sabemos que
. Substituindo na equação (3):
Então,
.
Passo 9
Agora que expressamos
e
em termos de
, podemos montar a matriz de mudança de base
colocando os coeficientes encontrados como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de base
é:
Exercícios relacionados
Verifique que os polinômios
e
geram o espaço
dos polinômios de grau menor ou igual a dois.
Verifique que os vetores
e
geram o espaço vetorial
, isto é, verifique que o espaço gerado
por
e
é igual a
.
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Escreva a equação da circunferência que contém os pontos
.