Sejam bases ordenadas de . Determine:
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Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde são dadas três bases ordenadas de : , e . A tarefa é encontrar a matriz de mudança de base do espaço para , denotada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base nos permite expressar os vetores da base na base . Ou seja, cada vetor de será escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar identificando os vetores das bases e :

Passo 4

Agora, vamos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 5

Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Da equação (2), já sabemos que . Substituindo na equação (1):
Então, .

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Da equação (4), sabemos que . Substituindo na equação (3):
Então, .

Passo 9

Agora que expressamos e em termos de , podemos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes encontrados como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de base é:

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