Identifique a cônica e esboce o gráfico das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para identificar qual cônica está representada pela equação
e também fazer um esboço do gráfico. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Para identificar a cônica, é bom tentar colocar a equação em uma forma mais familiar. Podemos reescrever a equação como
.
Passo 3
A forma
nos lembra a equação de uma hipérbole, que geralmente tem a forma
ou
. No nosso caso, não temos quadrados, mas a forma
ainda representa uma hipérbole, já que seus ramos estão em quadrantes opostos e possuem assíntotas.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que a hipérbole
tem dois ramos:
- Um no primeiro quadrante, onde
e . - Outro no terceiro quadrante, onde
e .
As assíntotas dessa hipérbole são as linhas
(eixo x) e
(eixo y), já que conforme
se aproxima de zero,
tende ao infinito, e vice-versa.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole.