Escreva a equação da circunferência que contém os pontos .

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos , e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a equação da circunferência.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento da fórmula geral da circunferência.
  • Substituição de coordenadas dos pontos na fórmula.
  • Resolução de um sistema de equações para encontrar os parâmetros da circunferência.

Passo 2

A fórmula geral da circunferência é:
Onde:
  • são as coordenadas do centro da circunferência.
  • é o raio.
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na fórmula da circunferência para obter um sistema de equações.
  1. Para o ponto :
çã
  1. Para o ponto :
çã
  1. Para o ponto :
çã

Passo 4

Como todas as três equações são iguais a , podemos igualá-las entre si para eliminar e resolver para e .
Igualando Equação 1 e Equação 2:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar .
Usando a Equação 1:
Simplificando:
çã

Passo 6

Vamos agora usar a Equação 3 para encontrar outra relação:
Simplificando:
çã

Passo 7

Igualamos a Equação 4 e a Equação 5 para eliminar :
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos e , podemos encontrar substituindo esses valores em qualquer uma das equações originais. Vamos usar a Equação 1:
Calculando:
Portanto, .

Resposta

A equação da circunferência que passa pelos pontos , e é:

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©
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