Escreva a equação da circunferência que contém os pontos A(1,1), B(1,-2) e C(2,3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos , e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a equação da circunferência.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento da fórmula geral da circunferência.
  • Substituição de coordenadas dos pontos na fórmula.
  • Resolução de um sistema de equações para encontrar os parâmetros da circunferência.

Passo 2

A fórmula geral da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde:
  • são as coordenadas do centro da circunferência.
  • é o raio.
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na fórmula da circunferência para obter um sistema de equações.
  1. Para o ponto (1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 [Equação 1] :
(1 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2 [Equação 2] çã
  1. Para o ponto (2 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2 [Equação 3] :
çã
  1. Para o ponto :
çã

Passo 4

Como todas as três equações são iguais a (1 - h)^2 + (1 - k)^2 = (1 - h)^2 + (-2 - k)^2 , podemos igualá-las entre si para eliminar 1 - 2k + k^2 = 4 + 4k + k^2 e resolver para 1 - 2k = 4 + 4k e -6k = 3 implies k = -12 .
Igualando Equação 1 e Equação 2:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos (1 - h)^2 + (1 - (-12))^2 = r^2 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar (1 - h)^2 + (32)^2 = r^2 [Equação 4] .
Usando a Equação 1:
Simplificando:
çã

Passo 6

Vamos agora usar a Equação 3 para encontrar outra relação:
(2 - h)^2 + (3 - (-12))^2 = r^2
Simplificando:
(2 - h)^2 + (72)^2 = r^2 [Equação 5] çã

Passo 7

Igualamos a Equação 4 e a Equação 5 para eliminar (1 - h)^2 + (32)^2 = (2 - h)^2 + (72)^2 :
1 - 2h + h^2 + 94 = 4 - 4h + h^2 + 494
Expandindo os quadrados:
1 - 2h + 94 = 4 - 4h + 494
Simplificando:
4 - 8h + 9 = 16 - 16h + 49
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
13 - 8h = 65 - 16h
Simplificando:
8h = 52 implies h = 528 = 6.5
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos (1 - 6.5)^2 + (1 - (-12))^2 = r^2 e (-5.5)^2 + (32)^2 = r^2 30.25 + 2.25 = r^2 32.5 = r^2 , podemos encontrar substituindo esses valores em qualquer uma das equações originais. Vamos usar a Equação 1:
Calculando:
Portanto, .

Resposta

A equação da circunferência que passa pelos pontos (x - 132)^2 + (y + 12)^2 = 652 , e é:

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