Encontre os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto indicado.
(b) vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto para a curva dada por . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre Frenet-Serret. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar vetores e usar produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto . Observando vec(r)(t):
  • ,
  • ,
  • .
Sabemos que e . Além disso, . Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade :
No ponto :

Passo 4

O vetor tangente unitário T é a normalização de . Como já temos , sua norma é:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de vec(r)(t) em relação a t, que é a aceleração :
Simplificando a terceira componente:
No ponto :

Passo 6

O vetor normal N é obtido pela normalização da derivada de T em relação a t. Primeiro, precisamos encontrar :
Como no nosso caso,
Então, em :
A norma de é:
Portanto,

Passo 7

Finalmente, o vetor binormal B é o produto vetorial entre T e N:
Calculando o determinante:

Resposta

No ponto , os vetores são:

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