Encontre os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto indicado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto para a curva dada por . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre Frenet-Serret. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar vetores e usar produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Observando :
,
,
.
Sabemos que e . Além disso, . Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :
No ponto :
Passo 4
O vetor tangente unitário é a normalização de . Como já temos , sua norma é:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é a aceleração :
Simplificando a terceira componente:
No ponto :
Passo 6
O vetor normal é obtido pela normalização da derivada de em relação a . Primeiro, precisamos encontrar :
Como no nosso caso,
Então, em :
A norma de é:
Portanto,
Passo 7
Finalmente, o vetor binormal é o produto vetorial entre e :