Encontre os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto indicado.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto para a curva dada por . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre Frenet-Serret. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar vetores e usar produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Observando :
  • ,
  • ,
  • .
Sabemos que e . Além disso, . Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :
No ponto :

Passo 4

O vetor tangente unitário é a normalização de . Como já temos , sua norma é:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é a aceleração :
Simplificando a terceira componente:
No ponto :

Passo 6

O vetor normal é obtido pela normalização da derivada de em relação a . Primeiro, precisamos encontrar :
Como no nosso caso,
Então, em :
A norma de é:
Portanto,

Passo 7

Finalmente, o vetor binormal é o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:

Resposta

No ponto , os vetores são:

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Considere a função definida por . Calcule:
(a)
(b)
©
Mostre que
(a) não é um número racional
(b) não é um número racional
Em um certo país o imposto de renda é taxado da maneira a seguir. Não há taxa para rendimentos mensais de até 10 mil reais. Qualquer renda entre 10 e 20 mil reais é taxada em . Qualquer renda maior que 20 mil reais é taxada em .
(a) Esboce o gráfico da taxa de imposto em função do salário de um trabalhador.
(b) Qual é a expressão de ?
© Qual é o imposto pago por uma pessoa que ganha 14 mil reais? E por uma pessoa que ganha 26 mil reais?
(d) Esboce o gráfico do imposto total pago em função do salário .
(b) O que significa dizer que ?