Mostre que
(a)
não é um número racional
(b)
não é um número racional
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
e
não são números racionais. Primeiro, o que significa um número ser racional? Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero. Vamos usar isso pra provar que essas raízes quadradas não se encaixam nessa definição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): mostrar que
não é um número racional. A gente vai fazer isso usando uma prova por contradição, ou seja, vamos assumir que
é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.
Passo 3
Assumindo que
, onde
e
são números inteiros sem fatores comuns (fração irredutível). Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando os dois lados por
, ficamos com:
Isso significa que
é múltiplo de 3, o que implica que
também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número que não é múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).
Passo 4
Se
é múltiplo de 3, podemos escrever
, onde
é um inteiro. Substituindo de volta na equação:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, e, consequentemente,
é múltiplo de 3.
Passo 5
Agora, tanto
quanto
são múltiplos de 3, o que significa que eles têm um fator comum de 3. Isso contraria nossa suposição inicial de que a fração
estava na forma mais simples (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que
é racional está errada.
Passo 6
Vamos para a parte (b): mostrar que
não é um número racional. Novamente, vamos usar uma prova por contradição.
Passo 7
Suponha que
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns. Elevando ao quadrado:
Multiplicando por
:
Isso significa que
é múltiplo de 6, e, assim,
deve ser múltiplo de 2 e de 3.
Passo 8
Se
é múltiplo de 2 e de 3, então
é múltiplo de 6. Vamos escrever
, onde
é um inteiro. Substituindo de volta:
Isso implica que
também é múltiplo de 6, então
é múltiplo de 2 e de 3.
Passo 9
Assim, tanto
quanto
são múltiplos de 6, o que novamente contraria nossa suposição inicial de que a fração
estava na forma mais simples. Portanto, nossa suposição de que
é racional está errada.
Resposta
Portanto,
e
não são números racionais.