Mostre que
(a) não é um número racional
(b) não é um número racional
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que e não são números racionais. Primeiro, o que significa um número ser racional? Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e não é zero. Vamos usar isso pra provar que essas raízes quadradas não se encaixam nessa definição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): mostrar que não é um número racional. A gente vai fazer isso usando uma prova por contradição, ou seja, vamos assumir que é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.
Passo 3
Assumindo que , onde e são números inteiros sem fatores comuns (fração irredutível). Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando os dois lados por , ficamos com:
Isso significa que é múltiplo de 3, o que implica que também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número que não é múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).
Passo 4
Se é múltiplo de 3, podemos escrever , onde é um inteiro. Substituindo de volta na equação:
Isso mostra que também é múltiplo de 3, e, consequentemente, é múltiplo de 3.
Passo 5
Agora, tanto quanto são múltiplos de 3, o que significa que eles têm um fator comum de 3. Isso contraria nossa suposição inicial de que a fração estava na forma mais simples (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que é racional está errada.
Passo 6
Vamos para a parte (b): mostrar que não é um número racional. Novamente, vamos usar uma prova por contradição.
Passo 7
Suponha que , onde e são inteiros sem fatores comuns. Elevando ao quadrado:
Multiplicando por :
Isso significa que é múltiplo de 6, e, assim, deve ser múltiplo de 2 e de 3.
Passo 8
Se é múltiplo de 2 e de 3, então é múltiplo de 6. Vamos escrever , onde é um inteiro. Substituindo de volta:
Isso implica que também é múltiplo de 6, então é múltiplo de 2 e de 3.
Passo 9
Assim, tanto quanto são múltiplos de 6, o que novamente contraria nossa suposição inicial de que a fração estava na forma mais simples. Portanto, nossa suposição de que é racional está errada.