Mostre que
(a) raiz(3) não é um número racional
(b) raiz(6) não é um número racional

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que raiz(3) e raiz(6) não são números racionais. Primeiro, o que significa um número ser racional? Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q não é zero. Vamos usar isso pra provar que essas raízes quadradas não se encaixam nessa definição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): mostrar que raiz(3) não é um número racional. A gente vai fazer isso usando uma prova por contradição, ou seja, vamos assumir que raiz(3) é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.

Passo 3

Assumindo que , onde p e q são números inteiros sem fatores comuns (fração irredutível). Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando os dois lados por , ficamos com:
Isso significa que é múltiplo de 3, o que implica que p também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número que não é múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).

Passo 4

Se p é múltiplo de 3, podemos escrever , onde k é um inteiro. Substituindo de volta na equação:
Isso mostra que também é múltiplo de 3, e, consequentemente, q é múltiplo de 3.

Passo 5

Agora, tanto p quanto q são múltiplos de 3, o que significa que eles têm um fator comum de 3. Isso contraria nossa suposição inicial de que a fração p/q estava na forma mais simples (sem fatores comuns). Portanto, nossa suposição de que raiz(3) é racional está errada.

Passo 6

Vamos para a parte (b): mostrar que raiz(6) não é um número racional. Novamente, vamos usar uma prova por contradição.

Passo 7

Suponha que , onde p e q são inteiros sem fatores comuns. Elevando ao quadrado:
Multiplicando por :
Isso significa que é múltiplo de 6, e, assim, p deve ser múltiplo de 2 e de 3.

Passo 8

Se p é múltiplo de 2 e de 3, então p é múltiplo de 6. Vamos escrever , onde k é um inteiro. Substituindo de volta:
Isso implica que também é múltiplo de 6, então q é múltiplo de 2 e de 3.

Passo 9

Assim, tanto p quanto q são múltiplos de 6, o que novamente contraria nossa suposição inicial de que a fração p/q estava na forma mais simples. Portanto, nossa suposição de que raiz(6) é racional está errada.

Resposta

Portanto, raiz(3) e raiz(6) não são números racionais.

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