integral0^1 integral0^x(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular uma integral dupla definida: . Isso tá dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas. Pra resolver, a gente vai precisar saber como fazer integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra.

Passo 2

Primeiro passo é integrar a função integral0^x (x^2 + y^2) , dy em relação a integral0^x x^2 , dy + integral0^x y^2 , dy , mantendo como se fosse uma constante. Então, a integral interna fica:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira parte:
integral0^x x^2 , dy = x^2 cdot y g|0^x = x^2 cdot x - x^2 cdot 0 = x^3
Para a segunda parte:
integral0^x y^2 , dy = y^33 g|0^x = x^33 - 0^33 = x^33
Agora, somamos os dois resultados:
x^3 + x^33 = 43 x^3

Passo 4

Com a integral interna resolvida, agora vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 43 x^3 , dx de 0 a 1:
43 integral0^1 x^3 , dx
Vamos tirar a constante 43 cdot x^44 g|0^1 = 43 cdot (1^44 - 0^44) = 43 cdot 14 = 13 da integral:
Integrando :

Resposta

O valor final da integral é .

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