Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral interna
. Aqui, estamos integrando em relação a
, e
é tratado como uma constante durante essa integração.
Passo 3
Para integrar
em relação a
, vamos usar uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Essa é uma forma mais fácil de integrar
.
Passo 5
A integral de
é
. Então, resolvemos:
Ou seja,
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
A segunda integral,
, é uma integral conhecida chamada Integral de Coseno Integral (
). No entanto, para simplificação, vamos focar na primeira parte, que também envolve funções especiais.
Passo 8
Ambas as integrais envolvidas resultam em funções especiais que geralmente não têm antiderivadas expressáveis em termos de funções elementares. Portanto, a solução exata é expressa em termos dessas funções especiais ou pode ser avaliada numericamente.
Resposta
A integral
não possui uma expressão em termos de funções elementares e é geralmente avaliada numericamente ou expressa em termos das funções especiais Coseno Integral
e Fresnel.
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e acima do retângulo
,
.