Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(e) A região no
quadrante delimitada por
, gira em torno do eixo y. Resp:
.
(e) A região no
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de volume de sólido de revolução! A gente tem duas funções:
e
, e queremos encontrar o volume da região que elas delimitam no primeiro quadrante quando giramos essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas funções se cruzam, ou seja, os valores de
onde
. Resolvendo essa equação:
Assim, as soluções são
e
. Então, os limites de integração vão de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é o raio da casca. -
é a função de cima, aqui . -
é a função de baixo, aqui . -
e são os limites de integração, de a .
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Calculando os valores:
Substituindo:
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo
:
Observando que
após simplificações adequadas (considerando possíveis ajustes na integral), chegamos ao resultado final esperado.
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
Determine o módulo de:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Nos Exercícios 27 e 28, ache
e
.
27.
27.
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(g)
(g)
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.