Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
c) O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar integrais triplas, que fazem parte do cálculo multivariável, pra resolver isso. Precisamos entender os limites onde , e variam pra montar nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar no plano . O cilindro é uma parábola que abre para cima. Para definir os limites de integração, precisamos saber de onde até onde varia. Observando o plano , percebemos que quando , , então vai de 0 a 1.
Para cada valor de entre 0 e 1, varia de a , já que .

Passo 3

Agora, vamos ver os limites para . O plano inferior é e o superior é . Ou seja, para cada ponto , varia de 0 a .
Então, resumindo:
  • vai de 0 a 1
  • Para cada , vai de a
  • Para cada , vai de 0 a

Passo 4

Com esses limites, montamos a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
A integral fica então:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Resolvendo as integrais:
Calculando as frações:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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