Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
c) O sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
c) O sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar integrais triplas, que fazem parte do cálculo multivariável, pra resolver isso. Precisamos entender os limites onde
,
e
variam pra montar nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar no plano
. O cilindro
é uma parábola que abre para cima. Para definir os limites de integração, precisamos saber de onde até onde
varia. Observando o plano
, percebemos que quando
,
, então
vai de 0 a 1.
Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
a
, já que
.
Passo 3
Agora, vamos ver os limites para
. O plano inferior é
e o superior é
. Ou seja, para cada ponto
,
varia de 0 a
.
Então, resumindo:
-
vai de 0 a 1 - Para cada
, vai de a - Para cada
, vai de 0 a
Passo 4
Com esses limites, montamos a integral tripla para o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
A integral fica então:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resolvendo as integrais:
Calculando as frações:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use a definição sobre área liquida tomando
como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre o gráfico de
e o intervalo
.
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
© Suponha que e
mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
.
© Suponha que
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
b) O sólido limitado por baixo pelo cone e por cima pela esfera
b) O sólido limitado por baixo pelo cone