Use a definição sobre área liquida tomando
como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre o gráfico de
e o intervalo
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a área líquida com sinal entre o gráfico de
e o intervalo
. Para isso, vamos usar a definição de integral definida através de uma soma de Riemann, tomando
como o extremo direito de cada subintervalo. Isso envolve entender conceitos de cálculo integral e somas de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, chamado de largura, é dado por:
Passo 3
Agora, escolhemos o ponto
em cada subintervalo para avaliar a função
. Como estamos usando o extremo direito, para o
-ésimo subintervalo, temos:
Passo 4
Em seguida, calculamos a altura do retângulo correspondente a cada subintervalo, que é a avaliação da função no ponto escolhido:
Passo 5
A área de cada retângulo é o produto da altura pela largura:
Passo 6
A soma de Riemann para toda a área é a soma das áreas de todos os retângulos:
Passo 7
Para encontrar a área líquida com sinal, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Passo 8
Simplificando a expressão, reconhecemos que isso é a definição da integral definida de
de
a
:
Passo 9
Calculando a integral:
Resposta
A área líquida com sinal entre o gráfico de
e o intervalo
é:
Exercícios relacionados
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano
Seja
e
dois lados de um triângulo que formam um ângulo
. Suponha que
e
e
variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos
, e
radianos, e
e
aumentam a uma taxa de
. Calcule a taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante.
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
c) O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos
e
.
c) O sólido limitado pelo cilindro
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
© Suponha que e
mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
.
© Suponha que