Mostre pelo Teorema do Confronto que lim x 0 raizx^5+x^2 sen pix=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich). A gente precisa mostrar que o limite quando se aproxima de 0 da função é igual a 0. Pra isso, vamos precisar entender como funciona esse teorema e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Ele diz que se temos três funções, digamos f(x) <= g(x) <= h(x) , e , e se para todo próximo a um ponto , temos:
E se ,
então .

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que vão “embrulhar” a nossa função principal. Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 4

Vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade pela função - raizx^5 + x^2 <= raizx^5 + x^2 cdot sen(pix) <= raizx^5 + x^2 . Como é sempre positiva (porque é uma raiz quadrada), a desigualdade se mantém:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite das funções que estão nos lados. Precisamos calcular:
limx to 0 -raizx^5 + x^2 e limx to 0 raizx^5 + x^2
Quando limx to 0 raizx^5 + x^2 = 0 se aproxima de 0, tanto limx to 0 -raizx^5 + x^2 = 0 quanto vão para 0. Então,
E, obviamente,

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto, já que a nossa função está “presa” entre duas funções que têm limite 0 quando limx to 0 raizx^5 + x^2 cdot sen(pix) = 0 se aproxima de 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados