Mostre pelo Teorema do Confronto que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich). A gente precisa mostrar que o limite quando
se aproxima de 0 da função é igual a 0. Pra isso, vamos precisar entender como funciona esse teorema e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Ele diz que se temos três funções, digamos
,
e
, e se para todo
próximo a um ponto
, temos:
E se
,
então .
então
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções que vão “embrulhar” a nossa função principal. Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 4
Vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade pela função
. Como
é sempre positiva (porque é uma raiz quadrada), a desigualdade se mantém:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite das funções que estão nos lados. Precisamos calcular:
Quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
vão para 0. Então,
E, obviamente,
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto, já que a nossa função está “presa” entre duas funções que têm limite 0 quando
se aproxima de 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
(i) \frac{x+1}{\left|x^{2}-1\right|} \geq x-\frac{1}{x-1}
Encontre o volume do sólido delimitado por
, no primeiro octante. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:
© ou
©
Resolva os limites.