Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a)
; o eixo
.
(a)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
em torno do eixo y. Para isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre para cima,
é o eixo x, e
é uma linha vertical que corta a parábola. Ao girar essa região em torno do eixo y, estaremos criando um sólido simétrico.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas envolve dividir a região em pequenas “cascas” ou cilindros verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura.
- Raio: A distância do elemento
até o eixo de rotação (eixo y). Neste caso, o raio é . - Altura: A função que define a parte superior da região menos a parte inferior. Aqui, a altura é
. - Espessura: Um pequeno incremento em
, representado por .
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Substituindo pelos valores do nosso problema:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.