Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a)
; o eixo
.
(a)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
em torno do eixo y. Para isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre para cima,
é o eixo x, e
é uma linha vertical que corta a parábola. Ao girar essa região em torno do eixo y, estaremos criando um sólido simétrico.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas envolve dividir a região em pequenas “cascas” ou cilindros verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura.
- Raio: A distância do elemento
até o eixo de rotação (eixo y). Neste caso, o raio é . - Altura: A função que define a parte superior da região menos a parte inferior. Aqui, a altura é
. - Espessura: Um pequeno incremento em
, representado por .
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Substituindo pelos valores do nosso problema:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sejam as funções abaixo:
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
(b) Se a solução de (40) tiver a forma
onde
é a função encontrada no item anterior, mostre que
satisfaz o problema dado em (39), com
.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(b) ; o eixo
.
(b)