Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) y = x^2, y = 0, x = 2; o eixo y.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , (que é o eixo x) e em torno do eixo y. Para isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para cima, é o eixo x, e é uma linha vertical que corta a parábola. Ao girar essa região em torno do eixo y, estaremos criando um sólido simétrico.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas envolve dividir a região em pequenas “cascas” ou cilindros verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura.
  • Raio: A distância do elemento até o eixo de rotação (eixo y). Neste caso, o raio é .
  • Altura: A função que define a parte superior da região menos a parte inferior. Aqui, a altura é .
  • Espessura: Um pequeno incremento em , representado por .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Substituindo pelos valores do nosso problema:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 2:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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