Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, y = 2; о eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , e gira em torno do eixo . Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume, que envolve um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que esteja em função de . Isso facilita na hora de integrar em relação a . Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente,

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo e a região está entre e , nossos limites vão de até .

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
Aqui, é o raio do disco, que corresponde à distância do eixo de rotação (o eixo ) até a curva .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Então,

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos de até :

Passo 7

Vamos expandir o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Avaliamos as integrais de 0 a 2:

Passo 10

Vamos somar os termos:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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