Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(d)
; о eixo
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas
,
e
gira em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume, que envolve um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação
de forma que
esteja em função de
. Isso facilita na hora de integrar em relação a
. Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente,
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo
e a região está entre
e
, nossos limites vão de
até
.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
Aqui,
é o raio do disco, que corresponde à distância do eixo de rotação (o eixo
) até a curva
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Então,
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos
de
até
:
Passo 7
Vamos expandir o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliamos as integrais de 0 a 2:
Passo 10
Vamos somar os termos:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sejam as funções abaixo:
, para
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
© ; о eixo
.
©
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) , о eixo
.
(f)
Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize
e suas respectivas séries calculadas no exercício acima: