Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(d)
; о eixo
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas
,
e
gira em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume, que envolve um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação
de forma que
esteja em função de
. Isso facilita na hora de integrar em relação a
. Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente,
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo
e a região está entre
e
, nossos limites vão de
até
.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
Aqui,
é o raio do disco, que corresponde à distância do eixo de rotação (o eixo
) até a curva
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Então,
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos
de
até
:
Passo 7
Vamos expandir o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliamos as integrais de 0 a 2:
Passo 10
Vamos somar os termos:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.