Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, y = 2; о eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , e gira em torno do eixo . Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume, que envolve um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que esteja em função de . Isso facilita na hora de integrar em relação a . Então,
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Finalmente,

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo e a região está entre e , nossos limites vão de até .

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a fórmula:
Aqui, é o raio do disco, que corresponde à distância do eixo de rotação (o eixo ) até a curva .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Então,

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos de até :

Passo 7

Vamos expandir o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Avaliamos as integrais de 0 a 2:

Passo 10

Vamos somar os termos:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Sejam as funções abaixo:
f(x) = 25, para x in [0, pi]
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
© y = -x^2 + 2x, y = 0; о eixo x.
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) x = y^(3/2), x = 0, y = 1, о eixo y.
Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize f(x) e suas respectivas séries calculadas no exercício acima:
& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]