Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é o tetraedro com vértices .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função sobre uma região chamada tetraedro, que tem os vértices nos pontos , , e . Isso significa que vamos calcular uma integral tripla para encontrar o volume ponderado dessa função dentro dessa forma tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como descrever o tetraedro matematicamente para definir os limites de integração. O tetraedro é um poliedro com quatro faces triangulares. Vamos encontrar as equações que delimitam essa região.

Passo 3

Vamos observar os vértices:
A partir desses pontos, podemos determinar as equações dos planos que formam as faces do tetraedro.

Passo 4

Para facilitar, vamos projetar o tetraedro no plano xy para encontrar os limites de x e y. No plano z=0, temos os pontos , e . A equação da reta que liga a é .

Passo 5

Agora, para cada ponto no plano xy dentro do triângulo, z varia de 0 até um valor que depende de x e y. Observando os vértices, quando x=0 e y=0, z pode ir até 3. Quando x=1 e y=0, z=0. Quando x=0 e y=2, z=0. Então, a equação para z em termos de x e y é .

Passo 6

Agora que temos os limites de integração:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de 0 a
  • Para cada (x, y), z varia de 0 a

Passo 7

Vamos montar a integral tripla:

Passo 8

Vamos resolver a integral em z primeiro:

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 11

Vamos resolver a integral em y:
Primeira parte:
E segunda parte:

Passo 12

Calculando a primeira integral:

Passo 13

Simplificando:

Passo 14

Calculando a segunda integral:
Fazendo a substituição , então ou . Quando y=0, u=1-x; y=-2x+2, u=1-x - (-2x+2)/2 = 1 - x - (-x + 1) = 0
Então:

Passo 15

Agora, combinando as duas partes:

Passo 16

Agora, integramos isso em relação a x de 0 a 1:

Passo 17

Integrando termo a termo:

Passo 18

Avaliando de 0 a 1:
Para x=1:
Para x=0:

Passo 19

Subtraindo:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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