Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é o tetraedro com vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função sobre uma região chamada tetraedro, que tem os vértices nos pontos , , e . Isso significa que vamos calcular uma integral tripla para encontrar o volume ponderado dessa função dentro dessa forma tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como descrever o tetraedro matematicamente para definir os limites de integração. O tetraedro é um poliedro com quatro faces triangulares. Vamos encontrar as equações que delimitam essa região.
Passo 3
Vamos observar os vértices:
A partir desses pontos, podemos determinar as equações dos planos que formam as faces do tetraedro.
Passo 4
Para facilitar, vamos projetar o tetraedro no plano xy para encontrar os limites de x e y. No plano z=0, temos os pontos , e . A equação da reta que liga a é .
Passo 5
Agora, para cada ponto no plano xy dentro do triângulo, z varia de 0 até um valor que depende de x e y. Observando os vértices, quando x=0 e y=0, z pode ir até 3. Quando x=1 e y=0, z=0. Quando x=0 e y=2, z=0. Então, a equação para z em termos de x e y é .
Passo 6
Agora que temos os limites de integração:
x varia de 0 a 1
Para cada x, y varia de 0 a
Para cada (x, y), z varia de 0 a
Passo 7
Vamos montar a integral tripla:
Passo 8
Vamos resolver a integral em z primeiro:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 11
Vamos resolver a integral em y:
Primeira parte:
E segunda parte:
Passo 12
Calculando a primeira integral:
Passo 13
Simplificando:
Passo 14
Calculando a segunda integral:
Fazendo a substituição , então ou . Quando y=0, u=1-x; y=-2x+2, u=1-x - (-2x+2)/2 = 1 - x - (-x + 1) = 0