Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada pelos cilindro , o plano , e o plano .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para integrar a função sobre a região limitada pelo cilindro , pelo plano e pelo plano . Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais triplas, que nos permite calcular o volume ou outras propriedades de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável ( , , ). A região é definida pelas seguintes superfícies:
  1. Cilindro : Este cilindro define uma superfície parabólica ao longo do eixo .
  2. Plano : Este plano inclina-se de forma que o valor de depende de .
  3. Plano : Este é o plano onde .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para : Dado pelo plano ( ) e pelo plano , temos que vai de até .
  • Para : O cilindro nos dá o limite inferior para . Como e , pode ir até .
  • Para : Como e , varia de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla com os limites determinados:

Passo 5

Vamos resolver a integral começando pela integração em relação a :

Passo 6

A integral agora fica:

Passo 7

Observamos que a função integranda é ímpar em relação a (pois contém o termo ) e os limites de são simétricos em torno de zero ( a ). Isso significa que a integral em relação a será zero, já que áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

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