Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
é a região limitada pelos cilindro
, o plano
, e o plano
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para integrar a função
sobre a região
limitada pelo cilindro
, pelo plano
e pelo plano
. Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais triplas, que nos permite calcular o volume ou outras propriedades de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável (
,
,
). A região
é definida pelas seguintes superfícies:
- Cilindro
: Este cilindro define uma superfície parabólica ao longo do eixo . - Plano
: Este plano inclina-se de forma que o valor de depende de . - Plano
: Este é o plano onde .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
-
Para
: Dado pelo plano ( ) e pelo plano , temos que vai de até . -
Para
: O cilindro nos dá o limite inferior para . Como e , pode ir até . -
Para
: Como e , varia de a .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla com os limites determinados:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando pela integração em relação a
:
Passo 6
A integral agora fica:
Passo 7
Observamos que a função integranda
é ímpar em relação a
(pois contém o termo
) e os limites de
são simétricos em torno de zero (
a
). Isso significa que a integral em relação a
será zero, já que áreas positivas e negativas se cancelam.
Resposta
0