Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por y = x^2(9 - x^2), y = 0 x = 2 e x = 0 gira em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região limitada pelas curvas , , e ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especialmente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. A função é um polinômio que, quando plotado, forma uma curva que toca o eixo nos pontos onde . Além disso, temos as linhas e que limitam essa região verticalmente. A região está abaixo da curva e acima do eixo entre e .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular o volume dessa região girada em torno do eixo . Usamos o método dos discos, que basicamente divide o sólido em pequenos discos circulares. Cada disco tem uma certa espessura e um raio que depende da função . A área de cada disco é , onde é o raio.

Passo 4

O próximo passo é expressar o raio de cada disco em termos de . Neste caso, o raio de cada disco é simplesmente a função . Assim, a área de cada disco fica .

Passo 5

Para encontrar o volume total, integramos a área de todos os discos desde até . A integral fica:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 8

Vamos calcular cada termo substituindo e :
Para :
Para , todos os termos serão zero.

Passo 9

Agora, somamos os resultados para :
Vamos encontrar um denominador comum para facilitar a soma. O menor múltiplo comum de 5, 7 e 9 é 315.
Somando:

Passo 10

Então, o volume fica:
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 7:
Mas geralmente deixamos a resposta na forma fracionária:

Resposta

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