Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por
e
gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região limitada pelas curvas
,
,
e
ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especialmente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. A função
é um polinômio que, quando plotado, forma uma curva que toca o eixo
nos pontos onde
. Além disso, temos as linhas
e
que limitam essa região verticalmente. A região está abaixo da curva
e acima do eixo
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o volume dessa região girada em torno do eixo
. Usamos o método dos discos, que basicamente divide o sólido em pequenos discos circulares. Cada disco tem uma certa espessura
e um raio que depende da função
. A área de cada disco é
, onde
é o raio.
Passo 4
O próximo passo é expressar o raio de cada disco em termos de
. Neste caso, o raio
de cada disco é simplesmente a função
. Assim, a área de cada disco fica
.
Passo 5
Para encontrar o volume total, integramos a área de todos os discos desde
até
. A integral fica:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 8
Vamos calcular cada termo substituindo
e
:
Para
:
Para
, todos os termos serão zero.
Passo 9
Agora, somamos os resultados para
:
Vamos encontrar um denominador comum para facilitar a soma. O menor múltiplo comum de 5, 7 e 9 é 315.
Somando:
Passo 10
Então, o volume fica:
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 7:
Mas geralmente deixamos a resposta na forma fracionária:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
, ache a área da região sob o gráfico de
de
a
.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
h) ; eixo
.
h)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
f) ; eixo
;
f)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
c) ; eixo
;
c)