Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
c)
; eixo
;
c)
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui: temos duas equações,
e
, e precisamos esboçar a região que elas delimitam. Depois, vamos calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo
(o eixo y negativo).
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente usando o método dos cascos cilíndricos. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Igualamos as equações:
Resolvendo para
:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos decidir qual método usar para calcular o volume. Como estamos girando a região em torno do eixo y negativo, o método dos cascos cilíndricos é mais apropriado. Esse método é útil quando a revolução é em torno de um eixo paralelo ao eixo das variáveis que estamos integrando.
Passo 4
O método dos cascos cilíndricos envolve integrar em relação a
, multiplicando a altura da função pela circunferência de cada “casco”. A fórmula geral é:
No nosso caso, a distância ao eixo
é simplesmente
, e a altura é a diferença entre as duas funções, que é
. Como as funções são pares (simétricas em relação ao eixo y), podemos integrar de 0 a
e depois multiplicar por 2 para facilitar os cálculos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Avaliando nos limites:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução é igual a
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
f) ; eixo
;
f)
Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por
e
gira em torno do eixo
.
Se
, ache a área da região delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo
, de
a
.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
g) ; eixo
;
g)