Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
c) ; eixo ;

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui: temos duas equações, e , e precisamos esboçar a região que elas delimitam. Depois, vamos calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo (o eixo y negativo).
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente usando o método dos cascos cilíndricos. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Igualamos as equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos decidir qual método usar para calcular o volume. Como estamos girando a região em torno do eixo y negativo, o método dos cascos cilíndricos é mais apropriado. Esse método é útil quando a revolução é em torno de um eixo paralelo ao eixo das variáveis que estamos integrando.

Passo 4

O método dos cascos cilíndricos envolve integrar em relação a , multiplicando a altura da função pela circunferência de cada “casco”. A fórmula geral é:
â
No nosso caso, a distância ao eixo é simplesmente , e a altura é a diferença entre as duas funções, que é . Como as funções são pares (simétricas em relação ao eixo y), podemos integrar de 0 a e depois multiplicar por 2 para facilitar os cálculos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Avaliando nos limites:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução é igual a unidades cúbicas.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
f) ; eixo ;
Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por e gira em torno do eixo .
Se , ache a área da região delimitada pelo gráfico de e pelo eixo , de a .
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
g) ; eixo ;