Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
h)
; eixo
.
h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas equações:
e
. Queremos esboçar a região delimitada por esses gráficos e calcular o volume do sólido formado quando essa região gira em torno do eixo -y. Vamos precisar conhecer gráficos de funções quadráticas e lineares, além de usar métodos de integração para encontrar o volume.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa região. Igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de y são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de x para esses y:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são (4, 2) e (1, -1).
Passo 4
Vamos esboçar as curvas:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
pode ser reescrita como , que é uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em x = 2.
A região delimitada está entre y = -1 e y = 2.
Passo 5
Para calcular o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo -y, usaremos o método dos anéis (washers). A fórmula geral é:
Onde:
-
é a distância da curva externa ao eixo de rotação. -
é a distância da curva interna ao eixo de rotação.
Passo 6
Identificamos qual curva está externa e qual está interna em relação ao eixo -y.
Para o eixo y, a distância de x ao eixo y é simplesmente x.
- Curva externa:
- Curva interna:
Passo 7
Então, as funções para o nosso caso são:
Passo 8
Definimos os limites de integração de y = -1 a y = 2.
Passo 9
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 10
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 11
Integrando termo a termo:
Passo 12
Calculando para y = 2:
Convertendo para denominadores comuns:
Calculando para y = -1:
Convertendo para denominadores comuns:
Passo 13
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução é
unidades cúbicas.
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
b) ; eixo
;
b)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
e) eixo
;
e)
Se
, ache a área da região sob o gráfico de
de
a
.
Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por
e
gira em torno do eixo
.