Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
h) ; eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas equações: e . Queremos esboçar a região delimitada por esses gráficos e calcular o volume do sólido formado quando essa região gira em torno do eixo -y. Vamos precisar conhecer gráficos de funções quadráticas e lineares, além de usar métodos de integração para encontrar o volume.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa região. Igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de y são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de x para esses y:
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são (4, 2) e (1, -1).

Passo 4

Vamos esboçar as curvas:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • pode ser reescrita como , que é uma linha reta com inclinação 1 e interceptação em x = 2.
A região delimitada está entre y = -1 e y = 2.

Passo 5

Para calcular o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo -y, usaremos o método dos anéis (washers). A fórmula geral é:
Onde:
  • é a distância da curva externa ao eixo de rotação.
  • é a distância da curva interna ao eixo de rotação.

Passo 6

Identificamos qual curva está externa e qual está interna em relação ao eixo -y.
Para o eixo y, a distância de x ao eixo y é simplesmente x.
  • Curva externa:
  • Curva interna:

Passo 7

Então, as funções para o nosso caso são:

Passo 8

Definimos os limites de integração de y = -1 a y = 2.

Passo 9

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 10

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 11

Integrando termo a termo:

Passo 12

Calculando para y = 2:
Convertendo para denominadores comuns:
Calculando para y = -1:
Convertendo para denominadores comuns:

Passo 13

Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução é unidades cúbicas.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
b) ; eixo ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
e) eixo ;
Se , ache a área da região sob o gráfico de de a .
Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por e gira em torno do eixo .