Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
f) ; eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região que fica entre as curvas das equações , e . Depois, precisamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Vamos usar cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações. A equação é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus. A equação também é uma linha reta, que intercepta o eixo em e o eixo em . Já é o eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir a região. Igualando em :
Então, as curvas se encontram no ponto .

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região. Ela está limitada pela linha de a , pela linha de a , e pelo eixo .

Passo 5

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula é:
Onde é a função que define a borda superior da região.

Passo 6

Dividimos o cálculo em duas partes, pois a função que delimita a região muda em .
  1. De a , a função superior é .
  2. De a , a função superior é .

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 8

Somamos os dois volumes para obter o volume total:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por e gira em torno do eixo .
Se , ache a área da região sob o gráfico de de a .
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
c) ; eixo ;
Se , ache a área da região delimitada pelo gráfico de e pelo eixo , de a .