Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
f)
; eixo
;
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região que fica entre as curvas das equações
,
e
. Depois, precisamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Vamos usar cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações. A equação
é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação 45 graus. A equação
também é uma linha reta, que intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. Já
é o eixo
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir a região. Igualando
em
:
Então, as curvas se encontram no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região. Ela está limitada pela linha
de
a
, pela linha
de
a
, e pelo eixo
.
Passo 5
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula é:
Onde
é a função que define a borda superior da região.
Passo 6
Dividimos o cálculo em duas partes, pois a função que delimita a região muda em
.
- De
a , a função superior é . - De
a , a função superior é .
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 8
Somamos os dois volumes para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido obtido quando a região limitada por
e
gira em torno do eixo
.
Se
, ache a área da região sob o gráfico de
de
a
.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
c) ; eixo
;
c)
Se
, ache a área da região delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo
, de
a
.