Se f(x) = sen(raiz(x)), ache a área da região sob o gráfico de f de x = 0 a x = pi^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área sob o gráfico da função entre e . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular a área sob uma curva. A área entre e da função é dada pela integral definida:
Á
No nosso caso, , e . Então, a área que queremos é:
Á

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição (também conhecida como mudança de variável). A ideia é simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, derivamos em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Á

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na seguinte fórmula:
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde é a constante de integração, que neste caso não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da área:
Á
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração e :
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região sob o gráfico de de a é .

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