Se
, ache a área da região sob o gráfico de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área sob o gráfico da função
entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular a área sob uma curva. A área entre
e
da função
é dada pela integral definida:
No nosso caso,
,
e
. Então, a área que queremos é:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição (também conhecida como mudança de variável). A ideia é simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na seguinte fórmula:
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde
é a constante de integração, que neste caso não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da área:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região sob o gráfico de
de
a
é
.