Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dâdas em torno do eixo especificado. x = 1 + y^2, y = x - 3 em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros, que envolve integração e cálculo de áreas de círculos gerados pela rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região. A curva é uma parábola que abre para a direita, e a reta é uma reta que corta o eixo no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber quais são os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração ( e ), vamos determinar o raio de cada cilindro na rotação em torno do eixo .
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
Onde é a função externa e é a função interna em termos de .

Passo 5

Identificando e :
  • é a distância do eixo até a curva mais externa. Aqui, .
  • é a distância do eixo até a curva mais interna. Aqui, .
Então,

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos desenvolver essa expressão antes de integrar.

Passo 7

Expandindo os termos dentro da integral:
Subtraindo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a antiderivada é:

Passo 9

Agora, avaliaremos essa antiderivada nos limites de e :
Primeiro, para :
Segundo, para :
Agora, vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
ú

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação das curvas dadas em torno do eixo é de unidades cúbicas.

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