Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dâdas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros, que envolve integração e cálculo de áreas de círculos gerados pela rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região. A curva
é uma parábola que abre para a direita, e a reta
é uma reta que corta o eixo
no ponto
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber quais são os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da segunda equação na primeira:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração (
e
), vamos determinar o raio de cada cilindro na rotação em torno do eixo
.
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
Onde
é a função externa e
é a função interna em termos de
.
Passo 5
Identificando
e
:
-
é a distância do eixo até a curva mais externa. Aqui, . -
é a distância do eixo até a curva mais interna. Aqui, .
Então,
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos desenvolver essa expressão antes de integrar.
Passo 7
Expandindo os termos dentro da integral:
Subtraindo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a antiderivada é:
Passo 9
Agora, avaliaremos essa antiderivada nos limites de
e
:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Agora, vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação das curvas dadas em torno do eixo
é de
unidades cúbicas.